基于谱分析的形状描述符在非刚性三维形状匹配中取得了较好的匹配效果,引起了研究者的广泛关注.谱分析是基于流形上拉普拉斯贝尔特拉米算子谱分解的一种内蕴形状分析方法.谱形状描述符和谱距离分布函数是最主要的两类谱分析形状描述符,它们具有不同的数学性质和物理意义.基于两类不同的形状描述符,给出了详细的方法分析及其在形状匹配中的应用.首先,给出了应用基于谱分析的形状描述符的非刚性三维形状匹配框架,介绍了几种常用的谱形状描述符及谱距离分布函数的基本思想和计算方法;然后,分析比较了这些形状描述符的优缺点及应用场景,为研究者选择基于谱分析的形状描述符提供参考;最后,通过实验对比了不同基于谱分析的形状描述符的算法鲁棒性、时间耗费及非刚性匹配性能,以此推动谱分析形状描述符的应用进程.
The shape descriptors based on spectral analysis have achieved good matching results in 3D non-rigid shape matching, which have attracted wide attention of researchers. Spectral analysis is an intrinsic shape analysis method based on spectral decomposition of Laplace-Beltrami operator on manifold, including spectral shape descriptors and spectral distance distribution functions, which have different mathematical properties and physical meanings. Based on two different types of shape descriptors, this paper gives a detailed method analysis and its application in shape matching. Firstly, this paper provides a 3D non-rigid shape matching framework by applying the shape descriptors based on spectral analysis, and the basic ideas and calculation methods of several commonly used spectral shape descriptors and spectral distance distribution functions are introduced. Secondly, this paper analyzes and compares the advantages and disadvantages of these methods and their application scenarios and provides reference for researchers to choose shape descriptors based on spectral analysis. Finally, the robustness, time consumption, and non-rigid matching performances of different shape descriptors based on spectral analysis are compared through experiments to promote the application process of shape descriptors based on spectral analysis.
非刚性三维形状匹配是图形学中的重要问题, 是形状识别[
本文综述了非刚性三维形状匹配中基于谱分析的形状描述符.对于刚性三维形状匹配, 目前已有大量的研究成果[
第1类形状描述符致力于描述形状表面的特征及其在全局欧氏变换下的不变性.尺度不变特征变换(scale invariant feature transform, 简称SIFT)描述符[
第2类形状描述符基于对形状统计特征的描述, 主要描述形状的全局属性.Osada等人[
形状分布中定义的5种距离
Five distances defined in shape distribution
第3类描述符基于对形状拓扑结构的特征提取, 该类描述符将三维形状匹配问题转换成其拓扑结构匹配问题, 应用两个形状拓扑结构的匹配结果作为形状的匹配结果.三维形状的拓扑结构精确地描述了形状的全局和局部几何形态特征, 并且保留了形状的层次结构.具有代表性的两类描述符分别是基于Reeb图理论的描述符和基于形状的骨架线理论的描述符,
不同形状Reeb图与骨架线图示
Diagram of Reeb graph and skeleton with different shapes
Reeb在1946年基于形状的拓扑结构提出了Reeb图的概念, 其具体步骤为:首先, 在三维形状的顶点上定义连续光滑函数
以上3类形状描述符大多应用于描述刚性形状, 对于形状发生等距、拓扑等非刚性变化不鲁棒, 因此不适用于非刚性三维形状匹配.近年来, 应用基于谱分析的形状描述符进行非刚性三维形状匹配成为了一个新的研究热点, 部分研究工作[
谱分析包括谱形状描述符及诱导出的谱距离, 常用的谱形状描述符包括形状DNA(shapeDNA)[
本文第1节给出基于谱分析的三维非刚性形状匹配的一般框架、LB算子的详细介绍及离散化计算.第2节首先详细介绍了几种谱形状描述符:shapeDNA, GPS, HKS, BS, WKS, 给出了谱形状描述符的推导过程及其在离散网格上的计算方法; 其次, 总结与分析了这几种形状描述符在非刚性三维形状匹配中的表现和特性.第3节给出谱距离的定义和形式化表达, 同时给出不同谱距离在三角网格上的离散计算方法以及谱距离分布函数的计算方式.第4节是实验验证部分, 实验中使用不同谱形状描述符和谱距离分布函数进行非刚性三维形状匹配, 观察不同谱形状描述符参数变化对匹配效果的影响, 同时验证了第2节提出的预测的有效性, 并做出合理分析.
现有的形状描述符研究工作[
谱分析的主要文章综述与分析
Several studies about summary and analysis of spectral analysis
年份 | 第一作者 | 期刊/会议 | 题目 | 简介 |
2011 | Bronstein MM | IEEE Trans. on Pattern Analysis & Machine Intelligence | Shape recognition with spectral distances[ |
介绍了应用谱距离分布进行非刚性形状识别的方法, 实验比较了HDD以及CD距离分布用于形状识别的性能 |
2011 | Bronstein AM | Computer Science | Spectral descriptors for deformable shapes[ |
对比了HKS和WKS用于三维形状检索的性能, 并优化了HKS和WKS的参数, 在SREC’10上验证了其参数的优越性 |
2013 | Cao W G | Computer Aided Drafting, Design and Manufacturing | Spectral distance distributions for non-rigid objects[ |
介绍了应用CD、HDD、BD三种谱形状描述符用于三维非刚性形状分类的方法, 并进行实验比较 |
2013 | R Litman | IEEE Trans. on Pattern Analysis & Machine Intelligence | Learning spectral descriptors for deformable shape correspondence[ |
基于HKS和WKS构造了一种基于学习的谱形状描述符, 用于形状对应 |
2014 | Patané G. | Pattern Recognition Letters | Laplacian spectral distances and kernels on 3D shapes ☆[ |
给出谱形状描述符和谱距离形式化表示以及离散化计算方法 |
2014 | Li, Chunyuan, | Multimedia Systems | Spatially aggregating spectral descriptors for non-rigid 3D shape retrieval: A comparative survey[ |
应用HKS, SIHKS, HMS和WKS进行非刚性三维模型检索 |
2016 | Biasotti S | Computer Graphics Forum | Recent trends, applications, and perspectives in 3D shape similarity assessment[ |
详细介绍了HKS、SIHKS用于三维形状相似度计算的过程 |
2016 | Patané G. | Computer Graphics Forum | Accurate and Efficient Computation of Laplacian Spectral Distances and Kernels[ |
详细介绍了的计算过程和性能分析, 分析了谱形状描述符和谱距离的理论意义 |
2017 | Patané G. | ACM SIGGRAPH | An introduction to laplacian spectral distances and kernels: Theory, computation, and applications[ |
详细介绍了谱形状描述符和谱距离的理论基础、计算过程和应用场景, 从鲁棒性、逼近精度和计算成本等方面讨论了国内外关于谱分析的研究工作 |
2018 | 李海生 | 软件学报 | 非刚性三维模型检索特征提取技术研究[ |
对于非刚性三维模型检索特征提取技术进行了详细的研究, 其在广泛调研大量文献和最新成果的基础上对shapeDNA, GPS, HKS, WKS用于三维非刚性形状检索进行了介绍 |
(1) 提供应用基于谱分析的形状描述符进行三维非刚性形状匹配的框架, 并给出该方法的原理分析和数值计算;
(2) 系统地对比不同形状描述符的数学定义及算法特性; 从计算精度、鲁棒性、时间复杂度等多方面比较其各自优缺点; 并且在非刚性三维形状标准库中进行了两类描述符的实验比较;
(3) 给出不同谱形状描述符和谱距离分布函数的最优使用场景, 讨论了谱分析应用于非刚性三维形状匹配中存在的问题以及未来的发展趋势, 对谱分析进行推广, 为研究者选择基于谱分析的形状描述符提供参考.
本文首先对基于谱分析的非刚性三维形状匹配的框架进行介绍.在数学中, 谱分析是一个广义的方法, 它将一个矩阵的特征向量和特征值理论扩展到一个含有更广泛运算符结构的谱空间中.在形状匹配中, 谱分析是指将形状上的LB算子离散化表示为LB矩阵, 对LB矩阵进行谱分解得到LB算子的特征向量和特征值.利用LB算子的特征值和特征向量, 可以定义出不同的谱形状描述符及其诱导出的不同的谱距离.通过计算一对形状上的谱形状描述符离散值或谱距离分布函数值, 研究者可以对比一对形状的局部或整体对应关系, 得到一对形状的非刚性匹配结果.本节首先给出非刚性匹配谱分析的一般框架, 其次给出LB算子的定义及离散化计算及谱分解形式.
LB算子的特征值与特征向量常常被用来描述模型的形状特性.利用谱形状描述符和谱距离可以很好地进行非刚性形状匹配, 本文给出基于谱分析的非刚性三维形状匹配的一般框架如
非刚性形状匹配谱分析框架
Non-rigid shape matching framework using spectral analysis
● 第1步:输入一对3D非刚性形状(点云模型、三角片模型等).
● 第2步:计算形状上每个采样点的LB算子值, 并将其进行谱分解, 由LB算子特征值和特征向量定义不同的形状描述符, 谱形状描述符可以诱导出谱距离.
● 第3步:对谱形状描述符和谱距离分布函数进行离散化求值, 得到谱形状描述符矩阵和谱距离分布函数矩阵.
● 第4步:应用方差或其他度量方法计算一对形状间谱形状描述符或谱距离分布函数数值, 并选择合适的度量函数进行形状匹配, 形状匹配结果可以应用于形状检索、形状分类、形状对应等.
整个匹配过程中, 形状描述符的选择是重要步骤, 通过选择合适的形状描述符, 研究者就可找到一对形状间的局部或整体匹配关系.
作为谱分析中的重要算子, 拉普拉斯-贝尔塔拉米算子是Laplace算子黎曼流形上的推广.Laplace算子是欧氏空间中作用于光滑函数
根据黎曼流形梯度和散度的定义, 若
在非刚性三维形状匹配中, 研究者需要计算离散网格上每个顶点的LB算子值.网格上某顶点
网格上某顶点
Diagram of a vertex
在离散数学中, 有限维离散LB算子通常称为离散LB矩阵, 是对连续LB算子的一种逼近.在顶点数为
等式(3)中, 当计算点
其中,
由LB算子的特征值和特征向量以定义不同的谱形状描述符, 例如上文提到的shapeDNA, GPS, HKS, BS和WKS, 本节对几种谱形状描述符的详细定义以及离散计算方法进行介绍.
ShapeDNA是Reuter等人在2005年通过提取黎曼流形表面的LB算子的特征值序列进行非刚性形状检索, 它的主要优点是易于表示形状, 计算简单[
由于同类相似形状的shapeDNA值很近似, 为了提高shapeDNA对同类形状的区分度, Rustamov等人在其基础上定义了一种新的谱形状描述符——全局点签名.如果将形状内在的对称性转化为特征空间, 将非刚性形状的特征空间映射到一个无限维空间——全局点嵌入域(global point signature embedding dominant), 那么在该无限维空间中, 可以定义
和
由上述定义可知, 一个形状的GPS矩阵维数很高.研究者需要根据应用选择合适的特征值数量
根据热扩散理论, 假定在形状上每点有初始热源
其中,
同样, 对热核进行谱分解:
热核能完全表征一个形状表面的几何信息, 如果将热核限制在时间域内, 可得到一个简洁的形状描述符——热核签名:
HKS具有多尺度特性, 能通过调节时间
其中, 每一列代表形状在不同时间
较小
Diagram of heat kernel function for a small fixed
基于HKS, Bronstein等人对HKS进行改进, 提出了具有比例不变性热核签名(scale-invariant heat kernel signature, 简称SIHKS)[
● 首先, 设缩放系数为
● 其次, 在比例变换下,
● 最后, 对
对等式(15)两边取傅里叶模后得到等式(16):
文献[
原始形状和缩放变化后形状的缩放不变热核签名图示
Scale-invariant heat kernel signature for the initial and scaled shape
为了同时兼顾形状的局部特性和全局特性, 在HKS和GPS的基础上, 将LB算子的特征值和特征向量进行另一种组合, 在形状
与GPS类似, 形状上的每个点的
BS通过正则化拉普拉斯算子的特征值, 很好地平衡了形状的局部特征和全局特征.BS算子来源于双调和微分方程, 该算子在形式上与GPS非常相像, 但是性能却有很大提升, 分母由LB算子的特征值的平方根变为LB算子的特征值, 大大加快了描述符的归一化.与GPS一样, 当我们选用BS表示形状时, 需要根据应用场景选择合适的谱分解数量
对于形状上的每个点, 通过测量不同能量级的量子粒子的平均概率分布, 文献[
波函数的形式表达类似于热核函数, 但意义却截然不同:热核函数表示是热量耗散, 波动函数表示了能量的振荡.其中,
其中,
当
|
由于
由上述可知, WKS采用带通滤波器, 因此可以很好地分离形状, 如
狗的波动核签名图示
Wave kernel signature on a dog
公式(24)中, WKS的表达式具有一般性, 可以通过选择不同能量概率分布函数
其中,
在谱形状描述符中, shapeDNA的研究时间最早, 因此整体性性能相对较差, 但其为之后谱形状描述符的发展奠定了基础.每点的shapeDNA由LB算子的前
GPS由LB算子的前
HKS定义了点
BS平衡了大尺度距离(反映全局特性)和小尺度距离(反映局部特性), 具有多尺度特性.它不依赖于时间参数, 克服了HKS依赖时间参数重的缺点, 同时克服了GPS没有多尺度特性的缺点.然而, 由于BS具有调和性质, 单独表征形状的局部及全局属性性能较差.
WKS同样对时间参数自由, 其最大优点是采用带通滤波器能清楚地分离形状上的不同频率集合, 且允许访问高频率信息, 从而增加算子的精确匹配能力.此外, WKS通过选择不同的能量规模而具有多尺度特性, 若选择能量级别较高的量子粒子, 波长越短, 其分布越靠近形状上的点, 此时反映形状的局部特性; 反之, 能量级别较低的量子粒子反映形状的全局特性.所以在匹配时, 研究者应该根据应用场景选择一个合适的能量规模.
几种谱形状描述符在不同变换下鲁棒性等级见
几种谱形状描述符在不同变换下鲁棒性等级
Robustness levels of several spectral shape descriptors under different transformations
名称 | 局部/全局性质 | 等距变化 | 缩放不变 | 下采样 | 加入洞 | 噪声 | 拓扑 |
ShapeDNA | 全局 | 优 | 差 | 优 | 良 | 优 | 优 |
GPS | 全局 | 优 | 差 | 优 | 优 | 优 | 优 |
HKS | 局部/全局 | 优 | 差 | 优 | 优 | 优良 | 优 |
SIHKS | 局部/全局 | 优 | 优 | 优 | 优 | 优良 | 优 |
BS | 局部 & 全局 | 优 | 差 | 优良 | 优良 | 优 | 优良 |
WKS | 局部/全局 | 优 | 差 | 优 | 优 | 优良 | 优 |
谱距离(shape spectral distance distribution)源于谱分析, 谱距离由形状表面上定义的谱形状描述符诱导得到, 包括热扩散距离、交换时间距离、双调和距离等.若在形状
其中,
其中,
在概率论与统计学中, 概率密度函数(probability density function, 简称PDF)是一个实值随机变量, 用于描述多随机变量的分布, 再由公式(29)可得谱距离分布函数可计算为
谱距离分布函数作为一种线性形状描述符, 继承了谱距离的特征, 具有以下特点.
(1) 采样不变性:对于形状
(2) 等距不变性:由于LB算子是形状的内蕴算子, 所以等距形状中任意两点的谱距离具有等距不变形.因此, 等距形变前后, 形状的谱距离分布函数理论上保持不变.但是在下文中, 我们给出了不同谱距离的谱分解计算形式, 在实际应用中, 一般取前100个特征值和特征向量.因此在实际的实验中, 等距形状的谱距离分布函数与原始形状的谱距离分布函数值相似.
(3) 拓扑鲁棒性:相对测地距离分布, 谱距离分布对拓扑变化的敏感性较低, 谱距离分布函数具有较强的拓扑鲁棒性.
(4) 无需预处理:相对于谱形状描述符, 应用谱距离分布进行三维非刚性形状匹配时, 不需要寻找数量相同的采样点, 也不需要配准采样点.
下文就详细对这4种谱距离进行介绍.
根据第2.3节, 在GPS域中的内积可定义交换时间距离:
交换时间距离反映了连接一对点之间随机游走的平均时间.通过谱分解, 交换时间距离可以表达为
其离散化形式为
热扩散距离和交换时间距离的关系为
热扩散距离反映了形状表面上两个点在时间
热扩散距离由扩散核导出, 并应用于降维和数据参数化等问题.扩散距离描述了形状
根据热核的谱分解形式以及热扩散理论, 热扩散距离(也称热核距离)表示为
为了不失一般性, 特征值从1开始, 离散化形式为
热扩散距离反映了扩散时间
类似GPS映射, 双调和映射定义了一个无限维的双调和空间.
双调和域中的内积可定义双调和距离[
通过谱分解, 双调和距离可写为
离散形式可写为
文献[
离散化形式为
http://tosca.cs.technion.ac.il/data/toscahires-mat.zip)[
TOSCA 2010数据库中的部分形状
Part of the shapes of TOSCA 2010 database
SHREC 2011数据库中的部分形状
Part of the shapes of SHREC 2011 database
SHREC 2015数据库由SHREC 2011[
SHREC 2015数据库中的部分形状
Part of the shapes of SHREC 2015 database
HKS具有多尺度特性, 由时间参数
在不同时间
Non-rigid shape matching using heat kernel signature under different time
WKS对时间参数自由,
在不同能量级(
Non-rigid shape matching using wave kernel signature under different energy scale
对比GPS、HKS、BS、WKS在等距、采样、加洞、噪声及拓扑变化下鲁棒性(
Compared with GPS, HKS, BS, WKS robustness in isometric, sampling, cave, noise and topological changes (
从
应用GPS、HKS、BS、WKS进行非刚性形状匹配(shape: cat 0 & cat 1,
Non-rigid shape matching using GPS, HKS, BS, WKS (shape: cat 0 & cat 1,
而当时间参数足够大时, HKS能表征cat 0与cat 1的局部几何信息和全局几何信息, 但由于HKS使用的都是一些低通滤波器, 形状的高频率信息被抑制, 不能精确地表示形状, 相比GPS, HKS能分清cat的腿部和身体, 但没有办法区分猫的前足和后足; BS表现最佳, cat 1相对cat 0尾巴发生较大扭曲, 此时, cat 0和cat 1为近似等距变化, BS能够明确地描述尾部的近似等距变化且匹配度高; 同时, WKS在猫的尾部匹配度同样较高, 且相比HKS, WKS使用带通滤波器, 减少低频的影响, 在图中能够清楚地分离出形状的频带区域, 具有优越的特征定位, 且能区分猫的四足, 适合高精度的匹配, 但算法时间复杂度较高.
通过10次实验求取平均值, 几个形状描述符耗费时间如
应用谱形状描述符进行非刚性形状匹配所耗费时间
Time-consuming of non-rigid shape matching using spectral shape descriptors
时间(s) | ||||
形状名称( |
Centuar ( |
Cat ( |
Vitoria ( |
|
GPS | 36.687 | 65.933 | 101.482 | 121.088 |
HKS | ||||
BS | 36.665 | 64.636 | 101.269 | 120.789 |
WKS | 48.893 | 79.364 | 123.798 | 145.116 |
应用谱形状描述符进行非刚性形状匹配
Non-rigid shape matching using spectral shape descriptors
形状名称( |
Centuar ( |
Cat ( |
Vitoria ( |
David ( |
GPS | 0.863 0 | 0.864 1 | 0.861 1 | 0.855 6 |
HKS | 0.877 0 | 0.869 1 | 0.857 4 | 0.852 4 |
BS | ||||
WKS |
有效的谱距离分布函数可以区分不同类别的形状, 且对于形状发生非刚性变化, 谱距离概率分布趋势差别较小, 故可以通过匹配形状的谱距离分布, 进行三维非刚性形状匹配[
4种谱距离分布函数进行非刚性形状匹配(shape: centaur 0 & centua 1)
Distribution function of four spectral distances for non-rigid shapes using matching (shape: centaur 0 & centua 1)
通过10次实验求取平均值, 几个谱距离分布函数的耗费时间见
应用4种谱距离分布函数进行非刚性形状匹配所耗费时间
Time-consuming of non-rigid shape matching using thedistribution function of four spectral distances
时间(s) | ||||
形状名称( |
Centuar ( |
Cat ( |
Vitoria ( |
David ( |
CDD | 836.523 | 3 365.75 | 4 719.546 | 5 136.651 |
HDD | 805.749 | 3 013.22 | 4 786.671 | 5 106.334 |
BD | 836.451 | 3 464.73 | 4 701.269 | 5 120.755 |
WKD | 868.342 | 3 521.323 | 4 723.656 | 5 135.446 |
应用4种谱距离分布函数进行非刚性形状匹配
Non-rigid shape matching using the distribution function of four spectral distances
形状名称( |
Centuar ( |
Cat ( |
Vitoria ( |
David ( |
CDD | 0.986 3 | 0.987 6 | 0.989 5 | 0.982 4 |
HDD | 0.992 8 | 0.993 9 | 0.994 1 | 0.995 2 |
BD | 0.995 6 | 0.995 8 | 0.995 9 | 0.997 1 |
WKD | 0.997 4 | 0.997 1 | 0.997 9 | 0.998 5 |
结合
基于SHREC 2015数据库, 应用4种谱距离进行非刚性三维形状匹配的热力图
Thermodynamic diagram of non-rigid 3D shape matching using four spectral distances based on SHREC 2015 database
如
基于SHREC 2015数据库, 应用4种谱距离分布函数进行非刚性三维形状检索查准率
Precision ratio of 3D Non-rigid shape retrieval using the distribution function offour spectral distances based on SHREC 2015 database
L2距离 | |||||||||||
形状名称 | Centuar | Ants | Gorilla | Male 0 | Female_ thin | Male 13 | Dog | Male 16 | Plies | Male_body builder | 平均查准率 |
CDD | 1.0 | 1.0 | 0.9 | 0.5 | 1.0 | 0.4 | 0.8 | 0.5 | 0.9 | 0.9 | 0.79 |
HDD | 0.9 | 0.8 | 1.0 | 0.8 | 0.6 | 0.6 | 0.5 | 0.5 | 1.0 | 0.5 | 0.72 |
BD | 1.0 | 0.9 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 0.5 | 0.6 | 0.5 | 1.0 | 1.0 | 0.80 |
WKD | 1.0 | 0.9 | 0.6 | 0.9 | 1.0 | 0.6 | 1.0 | 0.6 | 1.0 | 1.0 | 0.86 |
通过实验比较了不同谱形状描述符和谱距离分布函数进行非刚性三维形状匹配的性能, 可以发现利用基于谱分析的形状描述符进行非刚性形状匹配效果较好.在4类谱形状描述符中, WKS和WKD整体匹配表现性能最优, 适用于精细匹配, 但时间复杂度较高, 不适用于大规模形状的快速匹配; BS和BD性能次之, 能同时调和地表示形状的局部及全局信息, 但过于强调函数同时描述形状的局部和全局性质, 也会弱化形状的真实全局和局部特性; HKS和HDD对时间参数敏感, 所以仅凭某时刻
本文给出基于谱分析的形状描述符进行非刚性三维形状匹配的方法流程, 详细介绍了几种谱形状描述符和谱距离分布函数, 并在以下几方面对比了不同形状描述符的性能:(1)局部及全局属性; (2)有无参数及参数选择; (3)时间复杂度; (4)最优匹配度; (5)适用匹配场景; (6)整体表现性能.通过实验, 证明了本文预估的正确性.谱分析是一个易于理解、普适且鲁棒的分析方法, 基于谱分析的形状描述符在非刚性三维形状整体匹配中表现出了优异的性能, 我们希望提升基于谱分析的形状描述符在非刚性形状匹配中重要的理论意义及并推动其在工程应用价值的发展.同时, 在未来的工作中, 我们会对基于谱分析的形状描述符进行非刚性三维形状局部匹配进行进一步研究.
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