信息的不确定性是现实生活中普遍存在的一个基本特征, 将概率测度论和多值逻辑交叉融合是不确定性推理领域近20年的研究热点之一^[1-3].周红军在文献[4]中分别从语义计量化、模态形式化及代数公理化这3个角度系统地总结和梳理了命题型的概率计量逻辑理论及其在逻辑理论的相容度、程度化推理、极大相容理论的结构刻画、逻辑代数的Stone拓扑表示等领域中的应用, 从而为不确定性推理构建了语言表达能力和逻辑推理能力均很强的概率计量化模型, 建立了多值概率的基本框架.其中, 通过在多值逻辑代数上推广经典概率论中的Kolmogorov公理这一代数公理化方法而建立的态理论是概率计量逻辑的一个重要分支, 态算子按照推广方式的不同又分为Bosbach态与Riečan态^[4-6].我们在文献[4, 5]中已证明具有Glivenko性质的逻辑代数上的Bosbach态与Riečan态等价, 并且逻辑代数的Glivenko性质是研究态算子的构造和存在性的重要工具, 也具有一定的广泛性, 如BL-代数、R₀-代数与Heyting代数都是Glivenko的.

经典Glivenko定理证明了一个逻辑公式φ是经典二值命题逻辑中的定理的充要条件是其双重否定$\neg \neg \varphi $是直觉命题逻辑中的定理.它的代数版本可以描述为Heyting代数M中的所有对合元之集${\rm{Reg}}(M)$构成Boole代数, 且$\neg \neg :M \to {\rm{Reg}}(M)$是满同态, 其中, $\neg x = x \to 0,x \in M,{\rm{Reg}}(M) = \{ x \in M|\neg \neg x = x\} .$ Cignoli和Torrens在文献[7]中将上述Glivenko定理推广到了剩余格这一基本逻辑代数结构中, 并给出了双重否定$\neg \neg $成为到${\rm{Reg}}(M)$的满同态的若干充要条件.Pump在文献[8]中证明了KL-代数基于泛映射的Glivenko定理, 其中, 泛映射是双重否定的一种推广.注意, 并非所有的剩余格都是KL-代数.在剩余格中, 通过把双重否定一般化, 我们在文献[5]中引入了相对否定的概念.设M是剩余格, 并取定$a \in M,$定义${\neg _a}:M \to M$为${\neg _a}x = x \to a,\;x \in M.$称${\neg _a}$为M中相对于a的相对否定, 简称a-相对否定, 称a为相对元.注意, 上述$\neg $实为${\neg _0}$.基于双重相对否定, 我们进一步推广了Cignoli和Torrens的结果, 得到了双重相对否定成为到剩余格${\rm{Re}}{{\rm{g}}_a}(M) = \left\{ {x \in M|{\neg _a}{\neg _a}x = x} \right\}$的满同态的充要条件.沿用文献[9]中的术语, 双重相对否定${\neg _a}{\neg _a}$是核算子(nucleus).我们再次在文献[10]中研究了剩余格基于核算子的Glivenko定理, 给出了核算子是相应同态(以下简称同态核, 并参见定理1后面的说明)的充要条件, 得到了Glivenko定理目前最广泛的代数形式.注意, 即使同态核也不限于双重相对否定${\neg _a}{\neg _a}$的形式.研究表明, 同态核对研究剩余格上的Bosbach态有特殊作用, 而相对否定是研究剩余格上的Riečan态的重要工具.如前所述, 剩余格上的Bosbach态与Riečan态是多值概率中两种最著名的概念, 因此, 理清同态核与双重相对否定间的关系将有助于Bosbach态与Riečan态间的比较研究.

我们在文献[11]中给出了R₀-代数(或称为NM-代数, 参阅文献[12])中同态核的刻画, 证明了在R₀-代数M中核算子μ是同态核当且仅当$\mu = {\neg _a}{\neg _a},$其中, ${(\neg a)^2} = \neg a,$ $a \in M.$本文将研究NMG-代数中基于核算子的Glivenko定理及其同态核的刻画, 此时, 主要结论需加强为:在NMG-代数M中核算子μ是同态核当且仅当存在$a \in M$且满足${(\neg a)^2} = \neg a,$ $\neg \neg a = a$使得$\mu = {\neg _a}{\neg _a}.$注意, NMG-代数是较R₀-代数更为广泛的一类逻辑代数, 特别是它的否定运算$\neg $未必是对合的, 因而与文献[11]中的结论不同, 证明方法也有所不同, 但结论更具广泛性. NMG-代数作为第一个基于左连续序和三角模的模糊逻辑NMG的等价代数, 其语义也备受关注(具体地, 可参阅文献[13, 14]).

本文第1节简要介绍NMG-代数的基本知识, 包括NMG-代数上的核算子以及基于核算子的Glivenko定理.第2节首先在标准NMG-代数${[0,1]_{{\rm{NMG}}}}$中研究同态核的结构, 证明核算子μ是同态核当且仅当存在$a \in \left[ {0,1/4} \right] \cup \{ 1\} ,$使得$\mu = {\neg _a}{\neg _a}.$然后将此结论推广到一般NMG-链M中, 证明核算子μ是同态核当且仅当$\mu = {\neg _a}{\neg _a},$其中, $a \in {M^ - } \cup \left\{ 1 \right\}.$最后利用NMG-代数的次直积表示定理证明在NMG-代数M中核算子μ是同态核当且仅当$\mu = {\neg _a}{\neg _a},$其中, ${(\neg a)^2} = \neg a,\neg \neg a = a,a \in M.$第3节是结束语及今后有待考虑的问题.

1 预备知识

本节简要介绍有关NMG-代数的一些基本知识, 以及NMG-代数基于核算子的Glivenko定理, 参阅文献[4, 9, 13].为介绍NMG-代数, 首先对剩余格进行简单介绍.

称(2, 2, 2, 2, 0, 0) 型代数$(M, \wedge , \vee , \otimes , \to ,0,1)$为剩余格, 若

(ⅰ) $(M, \wedge , \vee ,0,1)$为有界格;

(ⅱ) $(M, \otimes ,1)$是交换幺半群;

(ⅲ) $( \otimes , \to )$构成M上的伴随对, 即

$x \otimes y \le z\; {\rm{ iff }}\; x \le y \to z,x,y,z \in M,$

其中, ≤为格M中的偏序.

定义 1.称剩余格$(M, \wedge , \vee , \otimes , \to ,0,1)$为NMG-代数, 若对任意的$x,y \in M,$满足:

(ⅰ) $(x \to y) \vee (y \to x) = 1;$

(ⅱ) $(x \otimes y \to 0) \vee (x \wedge y \to x \otimes y) = 1;$

(ⅲ) $(\neg \neg x \to x) \vee (x \wedge y \to x \otimes y) = 1,$其中, $x \in M,\;\mu (\mu (x) \to x) = 1,$

其他逻辑代数, 如MTL-代数、BL-代数、R₀-代数以及Heyting代数等都是具有特殊代数结构的剩余格, 参阅文献[4].其中, R₀-代数是满足定义1(ⅰ)与定义1(ⅱ)的对合剩余格, 即需把定义1(ⅲ)加强为$\neg \neg x \to x = 1,$因而R₀-代数是NMG-代数, 但反之不真.例如, 在[0, 1]上定义$x \wedge y = \min \{ x,y\} ,x \vee y = \max \{ x,y\} ,$

$x \otimes y = \left\{ \begin{array}{l} 0,\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}x + y \le 1/2\\ \min \left\{ {x,y} \right\},\quad {\rm{ }}x + y > 1/2 \end{array} \right.,x \to y = \left\{ \begin{array}{l} 1,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}x \le y\\ \max \left\{ {\left( {1/2} \right) - x,y} \right\},\quad {\rm{ }}x > y \end{array} \right.,$

则$([0,1], \wedge , \vee , \otimes , \to ,0,1)$是NMG-代数, 但不是R₀-代数.更一般地, 设$\alpha \in (0,1),$在$[0,1]$上定义$ \wedge = \min , \vee = \max ,$

$x \otimes y = \left\{ \begin{array}{l} 0,\quad \quad \quad \quad {\rm{ }}x + y \le \alpha \\ \min \left\{ {x,y} \right\},{\rm{ }}x + y > \alpha \end{array} \right.,x \to y = \left\{ \begin{array}{l} 1,\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}x \le y\\ \max \left\{ {\alpha - x,y} \right\},{\rm{ }}x > y \end{array} \right.,$

则$([0,1], \wedge , \vee , \otimes , \to ,0,1)$也是NMG-代数, 记为${[0,1]_\alpha }.$称${[0,1]_{1/2}}$为标准NMG-代数, 记为${[0,1]_{{\rm{NMG}}}}.$ ${[0,1]_\alpha }$中的三角模$ \otimes $实为序和三角模$\left\langle {([0,\alpha ],{T_{{\rm{NM}}}}),([\alpha ,1],{T_{\rm{M}}})} \right\rangle $, 其中, ${T_{{\rm{NM}}}}$与${T_{\rm{M}}}$分别为幂零极小与取小三角模(参阅文献[13]).对$\alpha ,\beta $ $ \in (0,1),$下述映射f为${[0,1]_\alpha }$与${[0,1]_\beta }$间的代数同构:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} (\beta /\partial )x,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}0 \le x \le \alpha \\ \left( {\left( {1 - \beta } \right)/\left( {1 - \alpha } \right)} \right)(x - 1) + 1,{\rm{ }}\alpha < x \le 1 \end{array} \right.$

(1)

因NMG-代数满足预线性公理$(x \to y) \vee (y \to x) = 1,$所以, 在NMG-代数中次直积表示定理成立, 即任一NMG-代数都可表示成一族NMG-链的次直积, 因此, NMG-链在研究NMG-代数时起着核心作用.在NMG-代数M中规定

${M^ + } = \{ x \in M|x > \neg x\} ,{M^ - } = \{ x \in M|x < \neg x\} ,$

则由次直积表示定理可知, ${M^ - } = \{ \neg x|x \in {M^ + }\} .$任一NMG-代数M中至多有一点$p \in M$使得$p = \neg p$, 称这样的p为M的否定不动点.对任意NMG-链M, 若M含有否定不动点p, 则$M = {M^ + } \cup {M^ - } \cup \{ p\} ,$且对任意的$x \in {M^ - }$与$y \in {M^ + },x ＜ p ＜ y.$当M无不动点时, $M = {M^ + } \cup {M^ - }.$例如, $\left[ 0,1 \right]_{\text{NMG}}^{+}=({1}/{4,1}\;],\left[ 0,1 \right]_{\text{NMG}}^{-}=[0,{1}/{4}\;),p={1}/{4}\;.$注意, [0, 1]-{1/4}带上${\left[ {0,1} \right]_{{\rm{NMG}}}}$中的运算也构成NMG-代数, 但它没有否定不动点.另外, 王三民等人在文献[13]中也证明了NMG-代数的标准完备性定理, 即, 一个等式在所有NMG-代数中成立当且仅当它在标准NMG-代数${[0,1]_{{\rm{NMG}}}}$中成立.这为验证NMG-代数中的等式带来极大方便, 如, 不难验证$(x \to y) \vee ((x \to y) \to (\neg x \vee y)) = 1$在${[0,1]_{{\rm{NMG}}}}$中成立, 从而它在所有NMG-代数中成立.由此等式, 便得到NMG-链M中蕴涵算子的表达式.

$x \to y = \left\{ \begin{array}{l} 1,\quad \quad \quad {\rm{ }}x \le y\\ \neg x \vee y,\quad {\rm{ }}x > y \end{array} \right.,x \in M.$

(2)

由NMG-代数的次直积表示定理和标准完备性定理, 还可进一步验证:对任一$x \in {M^ - },$

$x = \neg \neg x$

(3)

由式(3) 可知, $\{ \neg x|x \in {M^ - }\} \subset {M^ + }.$

定义 2.设M是NMG-代数, 称自映射$\mu :M \to M$为M上的核算子(nucleus), 若对任意$x,y \in M,$ μ满足:

(ⅰ) $x \le \mu (x);$

(ⅱ)当$x \le y$时, $\mu (x) \le \mu (y);$

(ⅲ) $\mu (\mu (x)) = \mu (x);$

(ⅳ) $\mu (x) \otimes \mu (y) \le \mu (x \otimes y).$

易验证双重相对否定$\mu = {\neg _a}{\neg _a}$与恒等映射都是核算子, 但核算子不限于上述两种形式^{[4, 10]}.本文关心同态核算子的结构, 为此, 先列出核算子的基本性质, 其证明参阅文献[4, 9].

命题1.设μ是NMG-代数M上的核算子, $x,y \in M,$>则:

(ⅰ) $\mu (x \to y) \le \mu (x) \to \mu (y) = x \to \mu (y);$

(ⅱ) $\mu (x \to \mu (y)) = x \to \mu (y);$

(ⅲ) $\mu (x \otimes y) = \mu (\mu (x) \otimes y) = \mu (\mu (x) \otimes \mu (y));$

(ⅳ) $\mu (x \wedge y) \le \mu (\mu (x) \wedge \mu (y)) = \mu (x) \wedge \mu (y);$

(ⅴ) $\mu (x \vee y) = \mu (\mu (x) \vee \mu (y)).$

命题2. NMG-代数M上的自映射μ是核算子当且仅当对任意的$x,y \in M,\mu (x) \to \mu (y) = x \to \mu (y).$

设M是NMG-代数, μ是M上的核算子.令

${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M) = \{ x \in M|\mu (x) = x\} ,$

则由核算子是闭包算子可知${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$是闭包系统, 从而对$ \wedge $封闭; 又由命题1(ⅰ)与命题1(ⅱ)可知${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$对→封闭.再定义$x{ \vee _\mu }y = \mu (x \vee y),x{ \otimes _\mu }y = \mu (x \otimes y),x,y \in {\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M),$则${\rm{(Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M), \wedge ,{ \vee _\mu },{ \otimes _\mu }, \to ,\mu (0),1)$构成剩余格, 但它未必是NMG-代数.若μ保持→, 则可验证μ是NMG-代数同态, 从而, 此时${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$是NMG-代数.

记${D_\mu }(M) = \{ x \in M|\mu (x) = 1\} $, 可验证${D_\mu }(M)$是M中的MP-滤子, 并按文献[4]中的式(8.1.14) 生成商NMG-代数$M/{D_\mu }(M).$

定理 1(Glivenko定理).设M是NMG-代数, μ是M上的核算子, 则以下各条等价.

(ⅰ) $\text{Re}{{\text{g}}_{\mu }}({M}/{{{D}_{\mu }}(M)}\;)={M}/{{{D}_{\mu }}}\;(M);$

(ⅱ)对任一$x \in M,\;\mu (\mu (x) \to x) = 1;$

(ⅲ)对任意的$x,y \in M,\;\mu (x \to y) = x \to \mu (y);$

(ⅳ) $\mu $是从M到${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$的满同态, 此时, ${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$同构于$M/{D_\mu }(M).$

证明:参阅文献[4, 10].

设μ是NMG-代数M上的核算子, 若M与μ满足定理1中的等价条件, 则称M具有μ-Glivenko性质, 或称M是μ-Glivenko的, 并称μ是同态核.特别地, μ是同态核指μ是从M到${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$的满同态, 要区别于M上的自同态, 因为${\rm{Re}}{{\rm{g}}_\mu }(M)$不是M的子代数.今后将${\neg _a}{\neg _a}$-Glivenko有时也简称为a-Glivenko.

2 NMG-代数中同态核的刻画

本节研究NMG-代数中同态核的结构.遵循由具体到抽象的原则, 首先考虑标准NMG-代数, 然后考虑NMG-链, 最后再研究一般NMG-代数中的同态核.

定理 2.设$M = {[0,1]_{{\rm{NMG}}}}$为标准NMG-代数, μ是M上的核算子, 则M是μ-Glivenko的当且仅当存在$a \in \left[ {0,1/4} \right] \cup \{ 1\} ,$使得$\mu = {\neg _a}{\neg _a}.$

证明:$( \Leftarrow )$ M显然是1-Glivenko的.下设$a \in \left[ {0,1/4} \right]$, 则有

${{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}x=\left\{ \begin{align} & 1,\text{ }x\ge ({1}/{2)-a}\; \\ & x,\text{ }a<x<{(1}/{2)-a}\; \\ & a,\text{ }x\le a \\ \end{align} \right.$

(4)

于是, 对任一$x\in \left[ 0,1 \right]$, ${{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}({{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}x\to x)=1.$所以, M具有a-Glivenko性质, $a\in [0,{1}/{4).}\;$

$(\Rightarrow )$设M是μ-Glivenko的.首先, 对$x\in [{1}/{4,1}\;],$有$\mu (\mu (x)\to x)=1.$若$x<\mu (x),$则$({1}/{2)-}\;\mu (x)<({1}/{2)}\;-x\le x,$从而有$\mu (x)=\mu (({1}/{2-\mu (x))}\;\vee x)=\mu (\mu (x)\to x)=1.$于是, 对$x\in [{1}/{4,1}\;]$, 必有$\mu (x)=x$或$\mu (x)=1$.特别地, $\mu ({1}/{4}\;)={1}/{4}\;$或$\mu ({1}/{4}\;)=1.$

情形1:$\mu ({1}/{4}\;)=1.$

由μ保序可知, 对任一$x\ge {1}/{4}\;,$有$x\in [0,{1}/{4}\;),$设$x\in [0,{1}/{4}\;),$由μ为同态及${1}/{4\to x}\;={1}/{4}\;$可得

$\begin{align} & \mu (x)=1\to \mu (x)=\mu ({1}/{4}\;)\to \mu (x) \\ & \quad \quad =\mu ({1}/{4\to x}\;) \\ & \quad \quad =\mu ({1}/{4}\;)=1. \\ \end{align}$

所以有$\mu ={{\neg }_{1}}{{\neg }_{1}}.$

情形2:$\mu ({1}/{4}\;)={1}/{4}\;.$

设$x<{1}/{4}\;$, 则有:

${1}/{4\to x={1}/{4}\;}\;,$

从而有:

${1}/{4=\mu ({1}/{4}\;)}\;=\mu ({1}/{4}\;\to x)=\mu ({1}/{4}\;)\to \mu (x)={1}/{4}\;\to \mu (x),$

于是必有:

$\mu (x)<{1}/{4}\;.$

设$\mu (x)>x,$则有:

$\begin{align} & 1=\mu (\mu (x)\to x)=\mu (({1}/{2-\mu (x))}\;\vee x) \\ & \ \,=\mu ({1}/{2-\mu (x)}\;)=\mu (\mu (x)\to 0) \\ & \,\ =\mu (x)\to \mu (0), \\ \end{align}$

于是$\mu (x)=\mu (0).$

这说明, 对任一$x\in [0,{1}/{4}\;),\mu (x)=x$或$\mu (x)=\mu (0)<{1}/{4.}\;$

令${{x}_{0}}=\inf \{x\in \left[ 0,1 \right]|\mu (x)=1\},$则有:

论断1:${1}/{4}\;<{{x}_{0}}\le {1}/{2}\;$且$\mu (0)={1}/{2}\;-{{x}_{0}}.$

$\mu ({1}/{2-\mu (0)}\;)=\mu (\mu (0)\to 0)=\mu (0)\to \mu (0)=1,$所以, ${{x}_{0}}\le {1}/{2-\mu (0).}\;$假设${{{x}_{0}}<1}/{2-\mu (0)}\;,$则存在x使得${{x}_{0}}<$ ${x<1}/{2-\mu (0)}\;$且$\mu (x)=1.$从而有$\mu (0)<\neg x={1}/{2}\;-x<x,$所以,

$\begin{align} & 1=\mu (x)=\mu (x\vee \mu (0)) \\ & \,\ =\mu (\neg x\to \mu (0)) \\ & \,\ =\neg x\to \mu (0). \\ \end{align}$

这说明$\neg x\le \mu (0),$矛盾!于是证明${{x}_{0}}={1}/{2-\mu (0).}\;$

论断2:

$\mu (x)=\left\{ \begin{align} & \mu (0),\text{ }x\le {1}/{2-{{x}_{0}}}\; \\ & x,\text{ }{1}/{2-{{x}_{0}}<x<{{x}_{0}}}\; \\ \end{align} \right.,x\in [0,{{x}_{0}}).$

当$x\le {1}/{2-{{x}_{0}}}\;$时, 由$\mu $的保序性可知, $\mu (x)\le \mu ({1}/{2-{{x}_{0}}}\;)=\mu (0)\le \mu (x),$所以, $\mu (x)=\mu (0).$当$x\ge {1}/{4}\;$时, 显然有$\mu (x)=x,$因为${{x}_{0}}=\min \{x\in [0,1]|\mu (x)=1\}.$设${1}/{2-{{x}_{0}}}\;<x<{1}/{4}\;,$则有:

${1}/{4}\;\ge \mu (x)=\mu ({{x}_{0}}\to x)={{x}_{0}}\to \mu (x)=({1}/{2-{{x}_{0}}}\;)\vee \mu (x).$

从而有${1}/{2}\;-{{x}_{0}}\le \mu (x)<{{x}_{0}}.$若$\mu (x)={1}/{2}\;-{{x}_{0}},$则$\mu (x)=\mu (\mu (x))=\mu ({1}/{2}\;-{{x}_{0}})=\mu (\mu (0))=\mu (0).$于是$\mu ({1}/{2-}\;x)\mu (x\to 0)=\mu (x)\to \mu (0)=1,$的定义矛盾.结合论断1, 我们证明了$\mu (0)<\mu (x)<{{x}_{0}},$所以$\mu (x)=x.$

综上, 对于情形2, 我们证明了

$\mu (x)=\left\{ \begin{align} & 1,\quad \quad \quad \quad \quad \text{ }x\ge {{x}_{0}} \\ & x,\quad \quad \quad \quad \;\; \text{ }{\text{ }1}/{2}\;-{{x}_{0}}<x<{{x}_{0}} \\ & {1}/{2}\;-{{x}_{0}},\quad \; \text{ }x\le {1}/{2}\;-{{x}_{0}} \\ \end{align} \right.,x\in \left[ 0,1 \right].$

令$a={1}/{2-{{x}_{0}}}\;,$则$a\in [0,{1}/{4)}\;,$由式(4) 可知$\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}.$

由式(1) 中的同构映射, 不难将定理2中的结论推广到NMG-链${{[0,1]}_{\alpha }}$中, 其中, $\alpha \in (0,1).$

推论 1. μ是${{[0,1]}_{\alpha }}$中的同态核当且仅当$\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}},$其中, $a\in [0,{\alpha }/{2}\;)\cup \{1\}.$

下面研究一般NMG-链中的同态核.

定理 3.设M是NMG-链, μ是M上的核算子, 则M是μ-Glivenko的当且仅当存在$a\in {{M}^{-}}\cup \{1\}$使得$\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}.$

证明: $(\Rightarrow )$

情形1:若$\mu (0)=1,$则$\mu ={{\neg }_{1}}{{\neg }_{1}}.$

事实上, 由$\mu (0)=1$和μ的保序性可知, 对任一$x\ge 0$有$\mu (x)=1,$从而有$\mu ={{\neg }_{1}}{{\neg }_{1}}.$

情形2:若$\mu (0)<1,$则$\mu (0)\in {{M}^{-}}$且$\mu ={{\neg }_{\mu (0)}}{{\neg }_{\mu (0)}}.$

假设$\mu (0)<1,$则$\mu (\neg \mu (0))=\mu (\mu (0)\to 0)=\mu (0)\to \mu (0)=1$且$\mu (0)=1\to \mu (0)=\mu (\neg \mu (0))\to \mu (0)=\neg \mu (0)\to $ $\mu (0),$从而有$\mu (0)<\neg \mu (0),$故$\mu (0)\in {{M}^{-}}.$

接下来分3步完成对$\mu ={{\neg }_{\mu (0)}}{{\neg }_{\mu (0)}}$的证明.

论断1:$\neg \mu (0)=\min \{x|\mu (x)=1\}.$

注意, $\mu (\neg \mu (0))=1.$对任一$x\ge \neg \mu (0),$由μ的保序性可知$\mu (x)=1,$故$x\in \{x|\mu (x)=1\}.$反设存在$y\in M$使得$y<\neg \mu (0)$且$\mu (y)=1,$需考虑以下两种情况.

(ⅰ)若$y\in {{M}^{-}},$即$y<\neg y,$则$\mu (0)=\mu (y)\to \mu (0)=y\to \mu (0)=\neg y\vee \mu (0),$从而有$\neg y\le \mu (0)<y,$与假设矛盾.

(ⅱ)若$y\ge \neg y,$由假设$y<\neg \mu (0)$及式(3), $\neg y>\mu (0),$故$y\ge \neg y>\mu (0).$从而有

$1=\mu (y)=\mu (y\vee \mu (0))=\mu (\neg y\to \mu (0))=\neg y\to \mu (\mu (0))=\neg y\to \mu (0).$

故$\neg y\le \mu (0),$与假设矛盾.

由上面(ⅰ)和(ⅱ)证得论断1.

论断2:对任意的$x\in M,$若$\mu (0)<x<\neg \mu (0),$则$\mu (x)=x.$

(ⅰ)若$x\ge \neg x,$假设$\neg x\le x<\mu (x),$则$x>\neg \mu (x),$ $\mu (x)\to x=\neg \mu (x)\vee x=x,$ $\mu (x)=\mu (\mu (x)\to x)=1$即$\mu (x)=1.$而$x<\neg \mu (0),$这与论断1矛盾.故假设不成立, 从而, 当$x\ge \neg x$时, $\mu (x)=x.$

(ⅱ)若$x\in {{M}^{-}},$则由式(3), $\neg x\in {{M}^{+}},$故$\mu (\neg x)=\neg x.$假设$x<\mu (x),$则$1=\mu (\mu (x)\to x)=\mu (\neg \mu (x)\vee x).$

● 若$\neg \mu (x)\ge x,$则$1=\mu (\neg \mu (x))=\mu (\mu (x)\to 0)=\mu (x)\to \mu (0),$故$\mu (x)\le \mu (0),$从而$\mu (x)=\mu (0).$由此可得:

$\neg x=\mu (\neg x)=\mu (x\to 0)=\mu (x)\to \mu (0)=1.$

但由$\mu (0)<x$可得$\neg x\le \neg \mu (0),$与论断1矛盾, 故假设不成立.

● 若$\neg \mu (x)<x,$则$\mu (x)=1.$但$x<\neg \mu (0),$这与论断1矛盾, 故假设不成立.从而, 对任一$x\in {{M}^{-}},\mu (x)=x.$由上面(ⅰ)与(ⅱ), 论断2得证.

论断3:对任一$x\le \mu (0),$有$\mu (x)=\mu (0).$

由μ的保序性和幂等性可知:

$\mu (x)\le \mu (\mu (0))=\mu (0)\le \mu (x).$

故$\mu (x)=\mu (0).$

综上, 对于情形2我们证明了:

$\mu (x)=\left\{ \begin{align} & 1,\quad \quad \quad \text{ }x\ge \neg \mu (0) \\ & x,\quad \quad \quad \text{ }\mu (0)<x<\neg \mu (0) \\ & \mu (0),\quad \; \text{ }x\le \mu (0) \\ \end{align} \right.,x\in M.$

令$a=\mu (0),$则$a\in {{M}^{-}}$且$\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}.$

$(\Leftarrow )$对任一$x\in M,$任一$a\in {{M}^{-}}\cup \{1\},$易验证${{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}({{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}x\to x)=1.$故M是a-Glivenko的.

为给出任一NMG-代数中核算子μ成为同态核的充要条件, 我们需要如下3个引理.

引理 1.设$M$是NMG-链${{\{{{M}_{i}}\}}_{i\in I}}$的次直积, μ是$M$上的核算子.若$M$是μ-Glivenko的, $x={{({{x}_{i}})}_{i\in I}}\in M,$ $y={{({{y}_{i}})}_{i\in I}}\in M,$则对任意的$i\in I,$当${{x}_{i}}={{y}_{i}}$时, 有${{(\mu (x))}_{i}}={{(\mu (y))}_{i}}.$

证明:设$x={{({{x}_{i}})}_{i\in I}},y={{({{y}_{i}})}_{i\in I}}\in M,$且存在$i\in I$使得${{x}_{i}}={{y}_{i}}$.因为μ为核算子, 故有$x\le \mu (x),\ y\le \mu (y).$特别地, 有${{x}_{i}}\le {{(\mu (x))}_{i}},\ {{y}_{i}}\le \mu {{((y))}_{i}}.$假设${{(\mu (x))}_{i}}\ne {{(\mu (y))}_{i}},$不妨设${{(\mu (x))}_{i}}<{{(\mu (y))}_{i}}.$由核算子的定义及命题1(ⅱ), $\mu (y)\to $ $\mu (x)=y\to \mu (x),$进而${{(\mu (y))}_{i}}\to {{(\mu (x))}_{i}}={{y}_{i}}\to {{(\mu (x))}_{i}}.$因为${{(\mu (x))}_{i}}<{{(\mu (y))}_{i}}$, 故必有${{y}_{i}}>{{(\mu (x))}_{i}}.$从而有${{(\mu (y))}_{i}}\ge $ ${{y}_{i}}>{{(\mu (x))}_{i}}\ge {{x}_{i}},$这与${{x}_{i}}={{y}_{i}}$矛盾.

引理 2.设$M$是NMG-链${{\{{{M}_{i}}\}}_{i\in I}}$的次直积.

(ⅰ)令μ是$M$上的核算子, 对任意$i\in I,$定义映射${{\mu }_{i}}:{{M}_{i}}\to {{M}_{i}}$如下:

${{\mu }_{i}}({{x}_{i}})={{(\mu (x))}_{i}},\ x\in M$

(5)

其中, ${{\pi }_{i}}(x)={{x}_{i}},$ ${{\pi }_{i}}$是从$\prod\limits_{i \in I} {{M_i}} $的第i个投射, 则对任意$i \in I,$ ${\mu _i}$是${M_i}$上的核算子; 若$M$是μ-Glivenko的, 则${M_i}$是${\mu _i}$-Glivenko的, $i \in I.$

(ⅱ)令${\mu _i}$分别是NMG-链${M_i}$上的核算子, $i \in I,$定义$\mu :M \to M$为

$\mu (x) = {({\mu _i}({x_i}))_{i \in I}},x = {({x_i})_{i \in I}} \in M$

(6)

则μ是$M$上的核算子.当${\mu _i}$都是同态核时($i \in I$), μ也是同态核.

证明:(ⅰ)由引理1, ${\mu _i}$是定义好的, $i \in I.$首先设μ是$M$上的核算子, $x,y \in M,\;{\pi _i}(x) = {x_i},\;{\pi _i}(y) = {y_i},i \in I,$则有

${\mu _i}({x_i}) \to {\mu _i}({y_i}) = {(\mu (x))_i} \to {(\mu (y))_i}$

$\begin{array}{l} = {(\mu (x) \to \mu (y))_i}\\ = {(x \to \mu (y))_i}\\ = {x_i} \to {(\mu (y))_i}\\ = {x_i} \to {\mu _i}({y_i}). \end{array}$

故由命题2, 对任意的$i \in I,{\mu _i}$是${M_i}$上的核算子.

当μ是同态核时, 由定理1(ⅲ)可知μ保持蕴涵运算→, 所以, ${\mu _i}$也保持${M_i}$中的蕴涵运算→_i, 因而是${M_i}$中的同态核.

(ⅱ)点式验证即可.

引理 3.

(ⅰ)设$M$是NMG-链, $x \in M,$则有

${x^2} = x \otimes x = x当且仅当x \in \{ 0\} \cup {M^ + }.$

(ⅱ)设$M$是NMG-代数, $x = {({x_i})_{i \in I}} \in M,$则有

${x^2} = x当且仅当对任一i \in I,x_i^2 = {x_i}.$

证明:(ⅰ)假设$0 < x \le \neg x,$则${x^2} \le x \otimes \neg x = 0,$所以, 当${x^2} = x$时必有$x \in \{ 0\} \cup {M^ + }.$反过来, 假设${x^2} \ne x,$则由定义1(ⅱ)可知, 必有${x^2} = 0,$从而$x \le \neg x,$与题设矛盾.

(ⅱ)由次直积表示定理即得.

定理 4.设$M$是NMG-代数, μ是$M$上的核算子, 则$M$是μ-Glivenko的当且仅当存在$a \in M$满足${(\neg a)^2} = \neg a,$ $\neg \neg a = a$使得$\mu = {\neg _a}{\neg _a}.$

证明:

$( \Leftarrow )$设$M$是NMG-链${\{ {M_i}\} _{i \in I}}$的次直积.取$a = {({a_i})_{i \in I}} \in M$且满足${(\neg a)^2} = \neg a,$ $\neg \neg a = a,$则对任一$i \in I,$ ${(\neg {a_i})^2} = \neg {a_i},$ $\neg \neg {a_i} = {a_i},$从而由引理3(ⅰ)可知, ${a_i} \in M_i^ - \cup \{ {1_i}\} .$由定理3可知, 对任一$i \in I,$ ${M_i}$是${a_i}$-Glivenko的.任取$x = {({x_i})_{i \in I}},y = {({y_i})_{i \in I}} \in M,$令$\mu = {\neg _a}{\neg _a},$则有

$\begin{array}{l} \mu (x \to y) = {\neg _a}{\neg _a}(x \to y)\\ \quad {\rm{ }} = {({\neg _{{a_i}}}{\neg _{{a_i}}}({x_i} \to {y_i}))_{i \in I}}\\ \quad {\rm{ }} = {({x_i} \to {\neg _{{a_i}}}{\neg _{{a_i}}}{y_i})_{i \in I}}\\ \quad {\rm{ }} = {({x_i})_{i \in I}} \to {({\neg _{{a_i}}}{\neg _{{a_i}}}{y_i})_{i \in I}}\\ \quad {\rm{ }} = x \to {\neg _a}{\neg _a}y\\ \quad {\rm{ }} = x \to \mu (y). \end{array}$

由定理1(ⅲ)可知, $M$是μ-Glivenko的.

$( \Rightarrow )$设μ是NMG-代数上的核算子, 且$M$是μ-Glivenko的.由引理2可知, 对任意$i \in I,{M_i}$是${\mu _i}$-Glivenko的, 其中, ${\mu _i}$由(式(5))定义.由定理3可知, 对任一$i \in I,$存在${a_i} \in M_i^ - \cup \{ {1_i}\} ,$使得${\mu _i} = {\neg _{{a_i}}}{\neg _{{a_i}}}.$设$a = {({a_i})_{i \in I}},$则由式(3) 及引理3(ⅱ)可知, $\neg \neg a = a,$ ${(\neg a)^2} = \neg a.$任取$x = {({x_i})_{i \in I}} \in M,$由引理2(ⅱ)及式(6) 可得,

$\begin{array}{c} \mu (x) = {({(\mu (x))_i})_{i \in I}} = {({\mu _i}({x_i}))_{i \in I}}\\ = {({\neg _{{a_i}}}{\neg _{{a_i}}}{x_i})_{i \in I}}\\ = {\neg _a}{\neg _a}x. \end{array}$

所以$\mu = {\neg _a}{\neg _a}.$

推论 2 ^[11].设M是R₀-代数, μ是M上的核算子, 则M是μ-Glivenko的当且仅当存在$a \in M$满足${(\neg a)^2} = \neg a,$使得$\mu = {\neg _a}{\neg _a}.$

例1:

(ⅰ)设$M = {[0,1]_{{\rm{NMG}}}}$是标准NMG-代数, 则由定理2可知, 对任一$a\in [0,{1}/{4}\;)\cup \{1\}$, $\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}$是从M到NMG-代数$\text{Re}{{\text{g}}_{\mu }}(M)=[a,{1}/{2}\;-a)\cup \{1\}$的满同态.

(ⅱ)设${{M}_{3}}=\{0,{1}/{4}\;,1\}$, 则${{M}_{3}}$按照${{[0,1]}_{\text{NMG}}}$中的运算也构成NMG-链.设

$M=\{(0,0),(0,{1}/{4}\;),({1}/{4}\;,0),({1}/{4}\;,{1}/{4}\;),({1}/{4}\;,1),(1,{1}/{4}\;),(1,1)\},$

则$M$按照点式序也构成(对合)NMG-代数, 其格结构如图 1所示, 且是${{M}_{3}}$与${{M}_{3}}$的次直积, 则由定理4可知, 映射$\mu :M\to M$是同态核当且仅当存在$a\in \{(0,0),(1,1)\}$使得$\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}.$

(ⅲ)设${{M}_{5}}=\{0,{1}/{8}\;,{3}/{8}\;,{1}/{4}\;,1\}$, 则${{M}_{5}}$按照${{[0,1]}_{\text{NMG}}}$中的运算也构成NMG-链.设

$M=\{(0,0),(0,{1}/{8}\;),({1}/{8}\;,0),({1}/{8}\;,{1}/{8}\;),({1}/{4}\;,{1}/{4}\;),({3}/{8}\;,{3}/{8}\;),({3}/{8}\;,1),(1,{3}/{8}\;),(1,1)\},$

则M按照点式序也构成NMG-代数, 其格结构如图 2所示, 且是${{M}_{5}}$与${{M}_{5}}$的次直积, 则由定理4可知, 映射$\mu :M\to M$是同态核当且仅当存在$a\in \{(0,0),(0,{1}/{8}\;),({1}/{8}\;,0),({1}/{8}\;,{1}/{8}\;),(1,1)\}$使得$\mu ={{\neg }_{a}}{{\neg }_{a}}.$

3 结束语

核算子首先由Rosenthal在Quantale中提出^[15], 之后由Galatos等人推广到剩余格中^[9].另一方面, 涉及形式演算和双重否定的Glivenko定理是直觉命题逻辑中的一个重要定理, 在研究逻辑代数上的态理论时也发挥着重要作用.目前, 在带有核算子的逻辑代数中得到了Glivenko定理的最广泛的代数形式.本文进一步研究了NMG-代数的核基Glivenko性质, 给出了同态核的结构刻画.

其他逻辑代数, 如MTL-代数、BL-代数、MV-代数以及Heyting代数中同态核的结构还不够清楚, 将是今后有待研究的课题.

另外, 目前对核算子的研究都是在逻辑代数中展开的, 如何利用模态化方法从逻辑角度研究核算子也是有待研究的课题, 具体为, 如何在某给定的命题逻辑系统中通过形式化地添加一个模态词, 用以表示相应语义代数中的核算子, 并证明其完备性, 将是一个富有挑战性的课题.