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  软件学报  2016, Vol. 27 Issue (3): 527-546   PDF    
城市交通网络信号控制系统的实时演算模型
孙景昊, 关楠, 邓庆绪 , 张鑫, 杨丰源    
东北大学信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110004
摘要: 基于实时演算(real-time calculus,简称RTC)理论,为单/双行道两类城市交通网络的定时和自适应两类信号控制系统建立了统一的形式化模型.首先,将车流和交叉路口分别建模为RTC的到达曲线和资源曲线;然后,根据不同信号控制策略,将紧邻路口间的曲线进行综合计算,得到整个交通网络的RTC模型.应用最小加代数方法,RTC模型能够计算车辆在路口的最长等待时间D和路口拥堵车队的最大长度B.基于RTC模型,应用MATLAB对8组不同规模的城市交通网格进行仿真,实验结果表明:(1)与双行道网络相比,单行道网络更能有效处理较稀疏的交通流.以定时控制为例,在车流频率u≤1/2时,单行道网络能够将交通拥堵指标DB分别降低至少2.66倍和3倍;(2)双行道网络中,车流频率u存在一个临界区域,在临界域内,拥堵指标随车流频率递增变化,一旦u低于或超出临界域,拥堵指标则分别保持稳定不变或不可控;(3)自适应策略优于定时控制策略,例如在双行道网络中,自适应控制策略对应的拥塞指标DB比定时控制策略分别降低1.68倍和1.26倍.
关键词: 实时演算    城市交通网络    信号灯控制    交通拥堵系数    
Modeling Urban Traffic Control Systems from the Perspective of Real Time Calculus
SUN Jing-Hao, GUAN Nan, DENG Qing-Xu , ZHANG Xin, YANG Feng-Yuan    
School of Information Science and Engineering, Northeastern University, Shenyang 110004, China
Abstract: This work presents a new framework for urban traffic flow control based on the real time calculus(RTC) method.The queuing behavior of the traffic flow is transformed into an arrival curve, and the capacity of the intersection is characterized by a service curve.According to different signal control strategies, the service and arrival curves at an intersection are used to calculate the outgoing arrival curve.This result curve at each intersection is further integrated with the curves at the adjacent intersections, which finally exhibits the RTC model of the whole traffic network.The presented model can evaluate the bounds of the delay D of a vehicle and the backlog B of an intersection.The experiments are settled on the urban girds, and reveal the changing trend of the congestion factors D and B that are under fixed-time and adapted control strategies respectively.This is followed by a discussion of how this modeling method helps to estimate the effect of different signal control strategies.
Key words: real time calculus    urban traffic network    traffic signal control    congestion factor    

现代城市交通网络是具有高实时性和不确定性的复杂巨系统[1].在交通网络中,数量众多的交叉路口彼此相连.各个路口交通灯的实时控制信号共同支配车流在网络中的运行状态.城市交通系统的形式化模型旨在刻画车流和信号控制最本质的行为特征,建立交通网络控制系统的模拟和仿真平台,最终为交通信号控制提供高效的优化方案,或对网络性能做出准确的定量评估[2].从建模层面的角度来看,当前的研究可分为微观方法和宏观方法两方面[3].

微观建模方法将交通网络中每辆车均作为独立个体加以研究,通过分析紧邻车辆间的跟驰行为建立车流的统计物理学模型.元胞自动机(cell automata,简称CA)是刻画车辆个体行为的经典微观模型[4].在CA模型中,道路被离散化为若干元胞,每个元胞只允许包含单一车辆,车辆间的关联仅局限于相邻的两元胞之间.以往的研究大多仅考虑直行车流、单车道和单交叉口的CA模型[4],而当前的最新研究开始关注车流转向、多车道和多交叉口等复杂情况[5, 6, 7, 8, 9].文献[5]为单行道交叉口的车流转向行为建立CA模型.文献[6]研究了双行道网络中多个交叉路口交通流行为.文献[7]提出了双车道上车辆跟驰行为的CA模型.文献[8]研究了考虑应急车辆的多车道CA模型.文献[9]应用CA对交叉口混合交通流进行仿真.尽管以CA为代表的微观模型能够真实模拟实际交通流,但是这类模型却因计算代价高昂,并不适合大规模的交通网络建模.另外,在实际应用中不能预先获得每辆车的位置、速度等实时参数,这也使CA模型仅局限于车流历史数据的仿真,而很难用于交通信号控制策略的实时制定与优化[3].

与微观方法不同,宏观建模方法不再单独以车流仿真为研究对象,而是从整个城市交通系统的全局出发对车流和信号控制策略的协同行为进行建模,其中最具代表性的是Petri网模型[2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].最初的研究[10, 11, 12]将城市交通网络看作离散事件系统,以道路上车辆的数目来标识交通系统的离散状态,基于Petri网分别为车流和信号控制策略建立离散事件模型.这些离散的Petri网模型均无法避免状态空间爆炸问题[2],这使得交通网络性能的分析和控制策略优化等问题变得异常困难.为此,有学者将原离散模型进行适当松弛,将车流看作是连续变化的物理系统,最终建立城市交通网络的混合 Petri网模型[2, 3, 13].文献[13]应用流体微分方程刻画车流随时间的变化,代入到信号控制策略的离散事件模型中,建立了交通网络控制系统的混合Petri网模型,并基于该模型优化现有的信号控制策略,改善网络中某些应急车辆的行驶效率.文献[3]将车流建模为混合逻辑动态系统(mixed logical dynamical system,简称MLDS),结合整数非线性规划方法对信号控制策略进行优化.文献[2]提出用连续Petri网模型来刻画车流.与文献[3, 13]的工作相比,文献[2]的模型能够处理随机变化的车流.以上研究建立Petri网模型的目的均是获得最优的交通信号控制策略.Petri网模型的另一个重要用途是,验证给定信号控制策略的正确性[14, 15, 16].文献[14, 15]建立了双行道交通信号控制的(同步)时间Petri网模型,验证了系统活性、可逆性和无死锁性等关键实时性质.另外,文献[16]应用工作流理论建立了交通信息服务系统的广义随机Petri网模型,并对信息服务的时间性质进行了分析和评估.

以上研究多借助统计概率和随机过程等理论方法对交通网络进行定性和定量分析.这些研究能够很好地刻画真实交通环境的不确定性,却很少从实时系统理论的角度对交通网络性能进行评估.城市交通网络信号控制系统是典型的实时系统.网络中的车流可看作是实时任务,在道路上随机释放,并在交叉路口等待通行处理.交叉路口可看作是车流通行所必需的资源,由信号灯控制路口资源对车流的分配.实时系统理论在处理系统的不确定性时,充分考虑路口上车流所有可能的到达情况,关心在最坏情况下,交通网络性能下界是否在可接受的范围之内.

本文从实时系统的角度,应用实时演算(real-time calculus,简称RTC)理论[17, 18, 19]为城市交通网络信号控制系统进行建模和定量分析.首先,将道路上不定期产生的车流建模为偶发性实时任务[20],由RTC计算每个时段进入交叉路口的车流到达曲线;其次,将交叉路口建模为资源曲线;针对不同信号控制策略,计算路口资源曲线作用于车流到达曲线后的结果,即;车流输出曲线和剩余资源曲线;最后,将交通网络中所有交叉路口级联,综合每个路口的车流输出曲线及其下游路口的车流到达曲线,建立整个城市交通网络信号控制系统的RTC模型.

与传统模型相比,本文模型的特色有如下两点:(1) 基于最小加代数理论[21]对车流曲线和资源曲线进行计算,能够有效避免其他形式化模型(例如Petri网)中普遍存在的状态空间爆炸问题;(2) 更重要的是,本文模型能够反映信号灯控制系统处理极端车流的能力.在给定信号控制策略的条件下,本文模型对交通网络性能的两类指标进行精确下界评估:一是每条车流从抵达路口直至离开的最长时间延迟;二是每个路口上车流的最大积压量.这两类指标旨在刻画信号灯控制系统在面临最坏交通流情况下能够达到的最好性能,为评价交通信号控制策略的优劣提供了新的参考.论文最后通过实验揭示了城市交通网格中车流延迟和路口积压在定时控制[15]和自适应控制[22, 23]策略下的变化规律,计算出使得整个交通网络无拥塞情况出现的最极端车流.基于这些研究结果,本文就当前智能交通领域的一些热点问题进行讨论,为单行道网络效率、分布式自适应控制[23]有效性和交通网络拥堵因素等问题提供了新的视角和理论支持.

本文第1节介绍实时演算理论中与本文相关的形式化定义.第2节构建城市交通网络的RTC模型.第3节应用RTC理论实现定时和自适应的信号灯控制策略.第4节给出实验分析,并对信号灯控制系统进行性能评估.最后是结束语.

1 . 实时演算的数学定义

实时演算(RTC)是网络演算在实时应用领域的扩展[17],两者共同的理论基础是最小加代数理论[21].与基于状态机(例如时间自动机)的形式化验证方法相比,RTC方法能够有效避免状态空间爆炸问题[19].RTC应用特征曲线为实时系统中的负载和资源进行建模.计算和通信资源联接起来构成资源网络,RTC刻画负载流通过资源网络的行为,并对网络系统的性能下界进行分析.若要建立RTC模型,需要首先获得实时系统的一些重要参数,这些参数主要描述资源网络中各个节点输入事件流的到达曲线和资源曲线以及每个节点上采用的处理模式等.第1.1节和第1.2节将分别从事件流的特征曲线和网络节点的处理模式两方面介绍RTC的相关理论.

1.1 到达曲线和资源曲线

RTC理论建立离散事件流模型来刻画实时任务到达处理器的行为,并应用特征曲线描述事件流和可用处理器资源的时间性质,其定义如下:

定义1(到达曲线)[19]. 给定时间段[s,t),R[s,t)表示在[s,t)内到达处理器的任务数.αuαl分别定义时段[s,t)关联的到达曲线的上界和下界,其满足不等式:∀s<t,αl(t-s)≤R[s,t)≤αu(t-s).特殊地,αu(0)=αl(0)=0.

定义2(资源曲线)[19]. 给定时间段[s,t),C[s,t)表示单位处理器资源在时段[s,t)内能够处理完成的任务数.βuβl分别定义时段[s,t)关联的资源曲线的上界和下界,其满足不等式:∀s<t,βl(t-s)≤R[s,t)≤βu(t-s).特殊地,βu(0)= βl(0)=0.

由以上定义可知:对于任意正数Δ,αu(Δ)和αl(Δ)分别表示所有长度为Δ的时段内到达的最多和最少任务数.同理,βu(Δ)和βl(Δ)分别表示所有长度为D的时段内单位处理器资源能够处理完成的最多和最少任务数.为方便表述,本文采用αβ分别简记这两类曲线序偶(αu,αl)和(βu,βl).

例1:到达曲线的示例如图1(a)所示,其中,E表示到达处理器的任务序列,α是序列E对应的到达曲线.图1(a)中用空心圆标注了Δ=ε,1,2(其中,ε为大于0的小常数)时,到达曲线α的取值.当Δ=ε时,观察序列E易知,时间段Δ内至多包含1个任务或者不包含任务,因此,对应到达曲线α满足αu(ε)=1和al(ε)=0.当Δ=1时,时间段Δ内包含的最多和最少的任务数分别为2和0,故有αu(1)=2和αl(1)=0,如图1(a)所示.同理,通过观察E序列易知,αu(2)=3和αl(1)=1.

Fig.1 Examples of the arrival and resource curves 图1 到达曲线和资源曲线的示例

例2:图1(b)给出了资源曲线的示例,其中,R表示处理资源在时间维上的分配,实心块表示可用的资源,βR对应的资源曲线.注意到,可用资源每隔4个时间单位出现一次,即,周期为4,故β每隔4个时间单位递增1,是时间段Δ的阶梯函数.另外,通过观察R可知:对于每个时间段D内,最好情况下,在每个周期起始位置即分配一个可用资源,此时,Δ内可用资源数为βu(Δ)=1+⌊Δ/4⌋;最坏情况下,每个周期内总是在最后一个时间单元分配可用资源,此时,Δ内可用资源数为βl(Δ)=⌊D/4⌋.显然,βu(Δ)和βl(Δ)对于相同的Δ总相差1,如图1(b)所示.

在RTC理论中,曲线之间经常进行卷积和去卷积运算,见如下定义:

定义3(卷积和去卷积运算)[21]. 两曲线fg的最小(大)加卷积Ä($\bar \otimes $)和最小加去卷积X运算分别定义如下:

(fÄg)(Δ)@inf0lD{f(Δ-l)+g(l)} (1)
(fg)(Δ)@sup0lΔ{f(Δ-l)+g(l)}  (2)
(fXg)(Δ)@sup0l{f(Δ+l)-g(l)} (3)

在一般情况下,定义3中f通常代入到达曲线aual,g则代入资源曲线buβl.卷积运算fÄg将时间段分成两部分.g(l)表示前半部分时段中的已有资源数.f(Δ-l)表示后半部分时段中新到达的任务数. 最小(大)加卷积运算即求这两部分之和最小(大).易知:若g(Δ)≤(fÄg)(Δ),则在长度为Δ的时段内,到达的任务数一定多于所需的资源数,即,任务出现积压情况.简言之,fÄg是任务不出现积压所需的资源数量下界.另外,去卷积运算fXg则考虑当任务经过一段时间的积累后,计算在未来的一段时间内的任务最大积压量.

另外,本文用到达曲线的分解与合并来刻画车辆在路口转向产生的分流行为.

定义4(到达曲线的合并与分解)[24]. 到达曲线a与到达曲线集合{a1,…,al}满足如下计算关系:

$\alpha = \sum\nolimits_{i = 1}^l {{\alpha _i}} ,\forall {\alpha _i}(\Delta ) = {\gamma _i}(\alpha (\Delta )),{\rm{即}},(\alpha _i^u(\Delta ),\alpha _i^l(\Delta )) = (\gamma _i^u(\alpha _i^u(\Delta )),\gamma _i^l(\alpha _i^l(\Delta )))$ (4)
其中,${\gamma _i}(n) = (\gamma _i^u(n),\gamma _i^l(n))$是曲线分解函数,其定义域和值域均是任务数集合,具体函数式如下:
$\gamma _i^u(n) = n + \sum\nolimits_{j \ne i} {\alpha _j^u(\alpha _i^{ - l}(n))} ,{\rm{其中}},\alpha _i^{ - l}(n) = \sup \{ \Delta \ge 0:\alpha _i^l(\Delta ) \le n\} $ (5)
$\gamma _i^l(n) = n + \sum\nolimits_{j \ne i} {\alpha _j^l(\alpha _i^{ - u}(n))} ,{\rm{其中}},\alpha _i^{ - u}(n) = \inf \{ \Delta \ge 0:\alpha _i^u(\Delta ) \ge n\} $ (6)
则称曲线集合{α1,…,αl}合并后得到曲线α;反之,曲线α分解得到曲线集合{α1,…,αl}.

为方便表述,定义4中的曲线合并与分解运算分别定义为JOIN和FORK函数如下:

(a,g1,…,gl)=JOIN(a1,…,al) (7)
a1,…,al)=FORK(a,g1,…,gl) (8)
1.2 处理模式与系统性能分析

在实时系统中,任务流通常加载到处理模块上,由处理模块根据不同模式实现资源到任务的分配.RTC将这些处理模块抽象为一类曲线转换函数,其定义域和值域均由到达曲线和资源曲线构成.RTC中两类基本的处理模块包括:贪婪处理模块(greedy processing component,简称GPC)和最早截止期优先(earliest deadline first,简称EDF)调度模块.下面分别介绍这两类模块的处理模式语义.

GPC将到达的实时任务(由曲线a表示)按照先进先出(first in first out,简称FIFO)次序排列,并在可用资源(由曲线β表示)的约束下,以贪婪策略对任务流进行服务,如图2(a)所示.

Fig.2 Two process components in RTC 图2 RTC中两个处理模式

根据文献[17]的理论推导,GPC的任务输出曲线a'=(a'u,a'l)和剩余资源曲线β'=(β'u,β'l)分别定义如下:

α'u(Δ)@[(αuÄβu)Xβl]∧βu(Δ) (9)
α'l(Δ)@[(alXβuβl]∧βl(Δ) (10)
β'u(Δ)@inf0l{βu(Δ+l)-αl(Δ+l)}  (11)
β'l(Δ)@sup0lD{βl(l)-αu(l)} (12)
其中,(fg)(Δ)=min(f(Δ),g(Δ)).公式(9)和公式(10)分别给出了任务输出曲线的上界和下界,[(auÄβu)Xβl]和[(alXβuβl]分别计算出,若使下一时段任务无积压,该时段必须处理的最多和最少的任务数.公式(11)考虑资源曲线上界和到达曲线下界相互作用的情况,给出了时段内最多可剩余的资源数.公式(12)考虑资源曲线下界和达到曲线上界相互作用,给出剩余资源曲线的下界.为方便表述,公式(9)~公式(12)可简记为(α',β')=GPC(α,β).

根据RTC理论,在GPC控制下,任务流中任意作业的最迟响应时间(delay) D(au,βl)和GPC模块上积压的最多任务数(backlog) B(al,βu)分别可由以下式子计算[17]:

D(αu,βl)@sup0l{inf{t∈[0,l]:αu(l-t)≤βl(l)}} (13)
B(αu,βl)@sup0l{αu(l)-βl(l)} (14)
直观上解释,D(au,βl)和B(al,βu)分别是曲线auβl的最大水平和垂直距离,如图3所示.在交通网络中,D(au,βl)和B(al,βu)分别对应车辆在路口的最长等待时间和路口上车流的最大积压量.

Fig.3 Illustration of D(au,βl) and B(al,βu) 图3 D(au,βl)和B(al,βu)的示意图

EDF调度模块可并行处理两条以上的任务流,如图2(b)所示.考虑一个EDF模块调度n条任务流,其中,第i条任务流中每个作业的相对截止期为di.这n条任务流均能满足截止期的充分条件是:对于任意长度的时间段,所有任务流的总处理时间Ω小于时段内的最小资源数βl.该条件的具体数学表达式如下[25]:

$\Omega (\Delta ) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {\alpha _i^u(\Delta - {d_i})} \le {\beta ^l}(\Delta ),\forall \Delta \in {R^{ \ge 0}}$ (15)

公式(15)中,$\alpha _i^u(\Delta - {d_i})$计算在长度为Δ的时段内,第i条任务流释放且完成作业的处理总耗时上界.在实时系统理论中,Ω(Δ)又被称为需求界限函数(demand bound function,简称DBF)[26].

根据文献[25]中的推导,EDF模块的任务输出曲线$\alpha {'_i} = \left( {\alpha _i^{'u},\alpha _i^{'l}} \right)$和剩余资源曲线$\beta {'_i} = \left( {\beta _i^{'u},\beta _i^{'l}} \right)$分别为

$\eqalign{ & \alpha _i^{'u}(\Delta ) \buildrel \Delta \over = \min \{ \alpha _i^u(\Delta + {d_i}),\min \{ (\alpha _i^u⊗{\beta ^u}){\rm{ }}\beta _i^l(\Delta ),{\beta ^u}(\Delta )\} \} \cr & \cr} $ (16)
$$\alpha _i^{'l}(\Delta ) \buildrel \Delta \over = \min \{ \alpha _i^l(\Delta - {d_i}),\min \{ (\alpha _i^u\oslash{\beta ^u})⊗\beta _i^l(\Delta ),\beta _i^l(\Delta )\} \} $$ (17)
$\beta _i^{'u}(\Delta ) \buildrel \Delta \over = {\inf _{\Delta \le \lambda }}\{ {\beta ^u}(\lambda ) - \sum\nolimits_{i = 1}^n {\alpha _i^l(\lambda )} \} $ (18)
$$\beta _i^{'l}(\Delta ) \buildrel \Delta \over = {\sup _{0 \le \lambda \le \Delta }}\{ {\beta ^l}(\lambda ) - \sum\nolimits_{i = 1}^n {\alpha _i^u(\lambda )} \} $$ (19)

其中,i=1,…,n.$\beta _i^l(\Delta ) = {\sup _{0 \le \lambda \le \Delta }}\left\{ {{\beta ^l}(\lambda ) - \sum\nolimits_{j \ne i} {\alpha _i^u(\lambda )} } \right\}$为EDF调度模块分配给第i条任务流的资源数下界.另外,与GPC模块类似,在EDF调度下,第i条任务流中任意作业的最迟响应时间$D(\alpha _i^u,\beta _i^l)$和模块上最大积压任务数$B(\alpha _i^u,\beta _i^l)$分别可由以下式子计算[25]:

$D(\alpha _i^u,\beta _i^l) \buildrel \Delta \over = {\sup _{0 \le \lambda }}\{ \inf \{ \tau \in [0,\lambda ]:\alpha _i^u(\lambda - \tau ) \le \beta _i^l(\lambda )\} \} $ (20)
$B(\alpha _i^u,\beta _i^l) \buildrel \Delta \over = {\sup _{0 \le \lambda }}\{ \alpha _i^u(\lambda ) - \beta _i^l(\lambda )\} $ (21)
2 . 城市交通网络的RTC模型

本节建立城市交通网络的RTC模型:车流建模为实时任务,交叉路口抽象为资源模型.第2.1节网络中每个路口上车流的到达行为将由RTC中的到达曲线刻画.第2.2节应用资源曲线建模路口的通行能力,并给出路口各方向上车流使用路口资源的规则.第2.3节将网络中每个路口的车流与相邻路口车流进行综合,最终得到整个交通网络的全局模型.

2.1 车流的到达曲线模型

道路上的车流由两部分组成:一是经由上游路口进入该道路的车流;二是本段道路上自生的车流.其中,道路上的自生车流可抽象为一类偶发性实时任务,定义为二元组(e,p).其中,e表示绿灯相位时一个单位车流从到达路口到驶出路口所耗费的最长时间;p为道路上连续产生两个单位车流的最小时间间隔,又称为周期.另外,定义自生车流的频率为u=e/p,表示在单位时间内道路上产生的单位车流条数.注意到,在理论上可以取一辆车作为单位车流.但是一辆车通行对应的绿灯时间很短,如果以单个车辆通过路口的时间作为最小绿灯时间,会使得信号灯变化过于频繁,增大了交通事故发生的风险.因此在实际应用中,通常参考城市交通系统中定义的最小绿灯时间 [22]给出单位车流的定义,即,在信号灯的最小绿灯时间内通过的车流称为单位车流.根据RTC理论,容易建立偶发性任务的到达曲线模型.自生车流(e,p)的RTC模型在形式上是一个周期为p的阶梯分段函数[17].

设自生车流对应的到达曲线为α1,来自上游路口的车流到达曲线设为α2,则道路上车流到达其紧邻下游路口的曲线即为α=α1+α2,如图4所示.

Fig.4 Combined arrival flow curve is decomposed in an intersection 图4 路口上车流曲线组合与转向分解示意图

车流α在到达路口之后,将会产生3种可能的行为:直行、右转和左转.接下来应用到达曲线α的分解操作刻画车流的转向行为.首先定义路口上的转向率为(tR,tL),表示车流α中右转和左转的车辆数分别是直行车辆数的tRtL倍;然后根据定义4,构造转向函数曲线集合(gS,gR,gL):

γS(a(Δ))=a(Δ)/(1+tR+tL) (22)
γR(n)=tR×γS(n) (23)
γL(n)=tL×γS(n) (24)

根据公式(21)~公式(23)中定义的转向函数,路口上直行和各转向车流可由车流到达曲线α分解得到,即:

(αS,αR,αL)=FORK(α,γS,γR,γL (25)
其中,αS,αRαL分别表示通过路口后直行、右转和左转的车流,如图4所示.结合公式(22)~公式(24)以及定义4可知:有α=αS+αR+αL成立,且有αR=tRαSαL=tLαS成立.即:到达路口的车流按照转向率比例分解成3股新的车流αS,αRαL,驶向下游路口.

2.2 交叉路口的资源曲线模型

本节讨论一个交叉路口中各方向上的车流如何共享和互斥使用路口资源.

· 首先,路口的通行能力被建模为资源曲线β(Δ)=Δ/e,如图5(a)所示.其中,e为绿灯相位时一个单位车流通过路口的时间.易知,β(Δ)表示长度为Δ的时间段内通过路口的单位车流条数(Δ|e=0);

Fig.5 Capacity of an intersection is modeled as a service curve 图5 路口通行能力的资源曲线模型

· 其次定义路口各方向上的车流aDT,其中,下标D表示车流驶来的方向,T表示车流的转向.车流符号中用到的所有下标均在表1中列出.

Table 1 Notations showing signal movements of traffic表1 路口车流信号动作的定义说明

接下来分析在信号灯控制下车流对路口资源的互斥和共享情况.在城市交通网络中,交叉口在南北向和东西向各配备一组信号灯,每组信号灯一般都具有3类指示灯状态:红灯、黄灯和绿灯.红灯亮起指示本方向上车辆禁止通行,绿灯指示车辆通行,黄灯提示车辆慢行.一般红灯、绿灯配时较长,黄灯配时很短.为简化模型,通常假设黄灯时间为0[13, 14, 15].基于此,本文考虑两相位信号灯配时方案[15].即:在一个配时周期内,交叉路口的信号灯在两个状态之间迁移,如图6所示.

Fig.6 Models of the two-phase transition 图6 交叉路口信号灯的两相位迁移模型

1) 相位1:南北向信号灯处于绿灯亮起状态,指示南北向车流αNTαST通行.相应地,东西向信号灯处于红灯亮起状态,车流αETαWT禁止通行(T∈{S,R,L});

2) 相位2:东西向信号灯处于绿灯亮起状态,指示东西向车流αETαWT通行.相应地,南北向信号灯处于红灯亮起状态,车流αNTαST禁止通行(T∈{S,R,L}).

显然,对于南北向和东西向的车流而言,信号灯以一种时分复用(TDMA)[17]的方式为车流分配路口资源.假设信号灯配时周期为q.在一个周期q内,有a个时间单元分配给相位1,另外q-a个时间单元分配给相位2.应用RTC理论,容易为TDMA配时方式建模:资源曲线β分解为两个周期性分段函数曲线β1β2.图5(b)给出了相位1对应的资源曲线${\beta _1} = (\beta _1^u,\beta _1^l)$.其中,红色曲线代表$\beta _1^u$,表示每个时段内分配给南北向车流的最大资源.即:每个周期总是在最开始就把a个时间单元分配给相位1,从而使南北向车流通行.结合β定义可知:相位1内南北向车流通行的最大车辆数为b=a/e,如图5(b)中纵坐标所示.另外,绿色曲线代表$\beta _1^l$,表示每个时段内分配给南北向车流的最少资源.即:在最坏情况下,每个配时周期总在最后a个时间单元内把路口资源分配给相位1.

本文考虑单行道路口和双行道路口两种情况.如图6(a)图6(b)所示,单行道路口上共有两类车流:北向车流αNSαNR以及东向车流αESαEL.根据两相位信号灯配时方案,这两类车流分时占用路口资源β.其中:北向车流αNSαNR共享相位1对应的资源β1,车流曲线αNSαNR与资源曲线β1作用后得到车流输出曲线分别为和;东向车流αESαEL共享相位2对应的资源β2,车流曲线αESαEL与资源曲线β2相互作用后得到的车流输出曲线分别为和.令表示经由路口向南驶入下游路口的车流输出曲线,对于任意的时间段D,

表示在时间段Δ内路口的南向输出的最大车流量,其计算公式如下:

${\alpha '_{\rm{S}}}(\Delta ) = {\sup _{0 \le {\Delta _1} \le \Delta }}\{ {\alpha '_{\rm{S}}}({\Delta _1}) + {\sup _{0 \le \lambda \le \Delta - {\Delta _1}}}\{ {\alpha '_{{\rm{NS}}}}(\Delta - {\Delta _1} - \lambda ) + {\alpha '_{{\rm{EL}}}}(\lambda )\} \} $ (26)
公式(26)中,可看作两部分车流的线性组合:

· 一是在Δ的前半时段路口上已经输出的南向车流,不妨设前半时段为Δ1,则这一部分车流即为;

· 二是在后半时段Δ-Δ1内从路口新输出的南向车流,这部分新输出的车流由两部分车流曲线综合而成:

北向直行车流输出曲线${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$;东向左转车流输出曲线${\alpha '_{{\rm{EL}}}}$.由于北向车流${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$和东向车流${\alpha '_{{\rm{EL}}}}$分别对应

不同的相位,所以这两股车流分时地从路口输出.

不妨设信号灯分配给车流${\alpha '_{{\rm{EL}}}}$的时长为λ,则北向车流的分配时长即为Δ-Δ1-λ.因此,在时段Δ-Δλ内,路口的南向输出曲线表达式为.由定义1可知,曲线表示时段D内输出车流的上界,故公式(26)中对任意的Δ1l应用sup操作求上确界.另外根据定义3,公式(26)可简写为最大加卷积形式,本文进一步定义MIX操作如下:

${\alpha '_{\rm{S}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{NS}}}},{\alpha '_{{\rm{EL}}}}) = {\alpha '_{\rm{S}}}\bar \otimes ({\alpha '_{{\rm{NS}}}}\bar \otimes {\alpha '_{{\rm{EL}}}})$ (27)

同理,经由路口向西驶入下游路口的车流输出曲线设为.易知,可由下式计算得出:

${\alpha '_{\rm{W}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{ES}}}},{\alpha '_{{\rm{NR}}}}) = {\alpha '_{\rm{W}}}\bar \otimes ({\alpha '_{{\rm{ES}}}}\bar \otimes {\alpha '_{{\rm{NR}}}})$ (28)

另外,双行道路口上有4类共12条车流,车流的分类及具体下标名称详见表1.如图6(c)图6(d)所示,相位1资源β1作用于北向车流{αNS,αNR,αNL}和南向车流{αSS,αSR,αSL}.注意到,车流αNS,αNR,αSSαSR可同时共享使用路口资源β1而不发生冲突.然而,αNSαSL以及αSSαNL这两对车流却会发生冲突,必须互斥地占用资源β1.类似地,相位2资源β2作用于东向车流{αES,αER,αEL}和西向车流{αWS,αWR,αWL}.车流αES,αER,αWSαWR彼此无冲突,可共享路口资源b2.车流αNSαSL以及αSSαNL在使用资源β2时相互冲突,需互斥占用资源β2.

令车流aDT对应的输出曲线为(D={N,S,E,W}且T={S,R,L}),路口各方向上输出曲线可由下式计算:

${\alpha '_{\rm{N}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{SS}}}},{\alpha '_{{\rm{WL}}}} + {\alpha '_{{\rm{ER}}}})$ (29)
${\alpha '_{\rm{S}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{NS}}}},{\alpha '_{{\rm{EL}}}} + {\alpha '_{{\rm{WR}}}})$ (30)
${\alpha '_{\rm{E}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{WS}}}},{\alpha '_{{\rm{NL}}}} + {\alpha '_{{\rm{SR}}}})$ (31)
${\alpha '_{\rm{W}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{ES}}}},{\alpha '_{{\rm{SL}}}} + {\alpha '_{{\rm{NR}}}})$ (32)

公式(29)给出了路口北向输出车流${\alpha '_{\rm{N}}}$.如图6(b)所示,车流由3部分车流曲线整合而成:一是南向直行车流输出曲线${\alpha '_{{\rm{SS}}}}$,二是西向右转车流${\alpha '_{{\rm{WL}}}}$,三是东向左转车流${\alpha '_{{\rm{ER}}}}$.首先,由于${\alpha '_{{\rm{SS}}}}$和其他两条车流分时地从路口输出,所以对于同一时间段,${\alpha '_{\rm{N}}}$只能在南向车流和东西向车流两者之间择其一取值,即,进行MIX操作(MIX运算的定义详见公式(27)和公式(28));其次,由于东西向车流${\alpha '_{{\rm{WL}}}}$和${\alpha '_{{\rm{ER}}}}$可同时共享使用路口资源,即在同一时刻,通过转向得到的北向输出车流${\alpha '_{{\rm{N}}1}}$是两者之和.综上,北向输出车流${\alpha '_{\rm{N}}}$分两步计算:

1) 求转向输出车流${\alpha '_{{\rm{N}}1}} = {\alpha '_{{\rm{WL}}}} + {\alpha '_{{\rm{ER}}}}$;

2) 南向直行车流的输出曲线${\alpha '_{{\rm{SS}}}}$和转向输出车流${\alpha '_{{\rm{N}}1}}$进行分时整合:${\alpha '_{\rm{N}}} = MIX({\alpha '_{{\rm{SS}}}},{\alpha '_{{\rm{N}}1}})$.

公式(30)~公式(32)与公式(29)有类似的结构,故在此不再赘述.

2.3 城市交通网络的级联模型

以上两节为交通网络中的单个路口建立了RTC模型.本节建立城市交通网络各个路口之间的级联模型.综合第2.1节、第2.2节的建模过程,路口可看作是一个到达车流曲线的处理函数.其中,函数的输入是路口各方向上的到达车流,这些车流先经过转向分流,再按照信号灯提供的配时规则有序通过路口;最后,将路口每个方向上输出的多条子车流汇总合并,构成最终的车流输出曲线.进一步地,这些车流输出曲线又将作为下游路口的输入变量进行迭代运算,从而完成路口之间的级联.

图7(a)给出了包含9个路口的单行道网络.对于网络中第i行第j列的路口R(i,j),定义路口函数为fij,其定义域和值域分别为{αN(i,j),αS(i,j),αE(i,j),αW(i,j)}和$\{ {\alpha '_{\rm{S}}}(i,j),{\alpha '_{\rm{N}}}(i,j),{\alpha '_{\rm{W}}}(i,j),{\alpha '_{\rm{E}}}(i,j),\emptyset \} $.其中:αD(i,j)为从D方向进入路口R(i,j)的到达车流;${\alpha '_D}(i,j)$为从路口流出驶向D方向的输出车流,即,D向输出车流(D∈{N,S,E,W}).对于i的不同取值,若i为奇数,有fij(αE(i,j))=${\alpha '_{\rm{W}}}(i,j)$,fij(αW(i,j))=∅;若i为偶数,有fij(αW(i,j))=${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j)$,fij(αE(i,j))=∅.另外,对于j的不同取值,若j为奇数,有fij(αN(i,j))=${\alpha '_{\rm{S}}}(i,j)$,fij(αS(i,j))=∅;若j为偶数,有fij(αS(i,j))=${\alpha '_{\rm{N}}}(i,j)$,fij(αN(i,j))=∅.

Fig.7 Traffic network with nine intersections 图7 包含9个交叉路口的城市交通网络

根据以上路口函数的定义,算法1给出了单行道路口网络级联模型的构造过程.

算法1. 单行道网络的路口级联算法.

输入: nxn维单行道网络以及道路自生车流Δa;

输出: 网络中每个路口上的输出车流曲线.

1.  FOR 1≤in:

2.   FOR 1≤jn:

3.    IF i|2=1 THEN

4.     αE(i,j):=j<n?${\alpha '_{\rm{W}}}(i,j + 1)$+Δα:Δα;

5.    ${\alpha '_{\rm{W}}}(i,j)$ :=fij(aE(i,j));

6.    ELSE

7.     aW(i,j):=j>1?${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j - 1)$+Δa:Δa;

8.     ${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j)$:=fij(aW(i,j));

9.    ENDIF

10.    IF j|2=1 THEN

11.     aN(i,j):=i>1?${\alpha '_{\rm{S}}}(i - 1,j)$+Δa:Δa;

12.    ${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j)$ :=fij(aN(i,j));

13.    ELSE

14.     aS(i,j):=i<n?${\alpha '_{\rm{N}}}(i + 1,j)$+Δa:Δa;

15.     ${\alpha '_{\rm{N}}}(i,j)$:=fij(aS(i,j));

16.    ENDIF

17.   ENDFOR

18. ENDFOR

算法1将单行道网络中的路口分为4类进行讨论.

1) 奇数行路口R(i,j)在东西方向仅有东向车流αE(i,j),算法的第3行~第5行给出了R(i,j)在东西方向与紧

邻路口的级联过程:综合上游路口R(i,j+1)的西向输出车流${\alpha '_{\rm{W}}}(i,j + 1)$和自生车流Δα构成到达车流αE(i,j),同时向下游路口R(i,j-1)提供输出车流;${\alpha '_{\rm{W}}}(i,j)$

2) 偶数行路口R(i,j)在东西方向仅有西向车流αW(i,j),该路口上的级联过程见算法的第6行~第9行:上游

路口R(i,j-1)的东向输出车流${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j - 1)$参与构造αW(i,j),输出车流${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j)$作为下游路口的到达车流;

3) 奇数列路口在南北方向的到达车流仅有αN(i,j),算法的第10行~第12行将上游路口R(i-1,j)的输出用

于构造的到达车流,同时将${\alpha '_{\rm{S}}}(i,j)$提供给下游路口R(i+1,j);

4) 偶数列路口R(i,j)南北方向仅有到达车流αS(i,j),上游路口R(i+1,j)的输出${\alpha '_{\rm{N}}}(i + 1,j)$作为R(i,j)的输入αS(i,j).R(i,j)的输出${\alpha '_{\rm{N}}}(i,j)$则作为下游路口R(i-1,j)的输入αS(i-1,j),见算法的第13行~第16行.

另外,双行道网络的简单示例如图7(b)所示.算法2给出了双行道路口的级联方法.对于网络中的每个路口R(i,j),算法2将路口级联分为两步进行讨论:第1步,上游路口输出车流和本路口上的自生车流进行综合,构造路口的到达车流,见算法的第3行~第16行;第2步,由路口函数fij得出输出车流作为下游路口的输入.注意到,在第1步中需考虑车流综合的边界条件.以北向车流αN(i,j)为例,如图7(b)所示,αN(i,j)是上游路口R(i-1,j)的输出车流和自生车流Δα的加和,见算法的第6行.注意到:当路口R(i,j)处于网络边界,也即i=1时,上游路口R(i-1,j)则不再存在.此时,路口的到达车流等于自生车流αN(i,j)=Δα,见算法的第3行.类似地,算法1中同样考虑了这种网络边界情况.以北向车流αN(i,j)为例,算法1的第4行与算法2中的第5行~第7行等价,均针对i的取值分i=1和i≠1两种情况进行讨论.

算法2. 双行道网络的路口级联算法.

输入:nxn维双行道网络以及道路自生车流Da;

输出:网络中每个路口上的输出车流曲线.

1.  FOR 1≤in:

2.   FOR 1≤jn:

3.    αN(i,j):=Δα;αS(i,j):=Dα;

4.    αE(i,j):=Δα;αW(i,j):=Dα;

5.    IF i>1 THEN

6.     αN(i,j):=αN(i,j)+${\alpha '_{\rm{S}}}(i - 1,j)$;

7.    ENDIF

8.    IF i<n THEN

9.     αS(i,j):=αS(i,j)+${\alpha '_{\rm{N}}}(i + 1,j)$;

10.    ENDIF

11.    IF j>1 THEN

12.     αW(i,j):=αW(i,j)+${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j - 1)$;

13.    ENDIF

14.    IF j<n THEN

15.     aE(i,j):=aE(i,j)+${\alpha '_{\rm{W}}}(i,j + 1)$;

16.    ENDIF

17.    ${\alpha '_{\rm{N}}}(i,j): = {f_{ij}}({\alpha _{\rm{S}}}(i,j));{\alpha '_{\rm{S}}}(i,j): = {f_{ij}}({\alpha _{\rm{N}}}(i,j))$ ;

18.    ${\alpha '_{\rm{E}}}(i,j): = {f_{ij}}({\alpha _{\rm{W}}}(i,j));{\alpha '_{\rm{W}}}(i,j): = {f_{ij}}({\alpha _{\rm{E}}}(i,j))$ ;

19.  ENDFOR

20. ENDFOR

3 . 信号灯控制策略的RTC实现

上一节构造了城市交通网络的RTC模型,将网络中的路口R(i,j)抽象成一个处理车流曲线的函数fij.本节将讨论函数fij的具体实现,即,如何应用RTC建模信号灯控制路口车流的行为.

智能交通系统中的信号灯控制策略主要分为两类:定时控制和自适应控制[15].其中,定时控制是目前使用最广的城市交通控制方法.这种方法为路口提供固定的配时方案,实现简单,但不能适应交通流的实时变化.自适应控制策略则能够响应车流的实时变化,是目前公认的最高效的交通控制策略之一[22, 23].本节应用RTC语义刻画以上两类控制策略,并在第4节为这两类控制策略进行比较实验.

3.1 定时控制策略

定时控制方法将时间域均匀划分为若干时段,每段称为一个配时周期.在每个配时周期内,以固定比例为路口上的信号灯分配红灯时间和绿灯时间.结合第2.2节中路口资源的TDMA模型以及路口车流的同步和互斥规则,下面给出定时控制对应的车流曲线处理模块图.

首先,以图6(a)图6(b)中的路口为例,单行道定时控制的RTC模型如图8所示.路口资源曲线b以TDMA的方式分解为两条子曲线b1β2,这两条资源曲线均加载到GPC处理模块,分别对北向车流αN和东向车流αE以贪婪策略进行服务.其中,每个GPC模块输出的车流曲线又分为直行和转向两种情况.设北向车流到达曲线αN对应的输出曲线为${\alpha '_1}$,根据第2.1节中公式(23)、公式(24)定义的转向函数,令车流转向率为(tR,0),对进行FORK操作:$({\alpha '_{{\rm{NS}}}},{\alpha '_{{\rm{NR}}}}) = FORK({\alpha '_1},{\gamma _{\rm{S}}},{\gamma _{\rm{R}}}),$得到北向直行车流对应的输出曲线${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$以及北向右转车流对应的输出曲线${\alpha '_{{\rm{NR}}}}$.同理,东向直行车流和东向左转车流对应的输出曲线${\alpha '_{{\rm{ES}}}}$${\alpha '_{{\rm{EL}}}}$FORK操作获得.最后,根据第2.2节中的公式(27)和公式(28),路口的向南输出曲线${\alpha '_{\rm{S}}}$(向西输出曲线${\alpha '_{\rm{W}}}$)可由曲线${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$和${\alpha '_{{\rm{SL}}}}$(${\alpha '_{{\rm{ES}}}}$和)${\alpha '_{{\rm{NR}}}}$进行MIX操作获得.

Fig.8 RTC model for the fixed-time control in the lane intersection 图8 单行道路口定时控制的RTC模块图

图9给出了双行道路口定时控制的RTC模型.与单行道路口不同,双行道路口信号灯的一个相位对应两条车流.如图6(c)图6(d)所示,路口南北向上有两条相向而行的车流:北向车流αN和南向车流αS.这两条车流在到达路口后进行分流.根据第2.1节中的公式(22)~公式(25),对αNαS分别进行FORK操作可以得到{αNS,αNR,αNL}和{αSS,αSR,αSL}.这6条子车流共用资源曲线β1.根据第2.2节的分析,北向直行车流αNS和南向左转αSL互斥使用β1,以及南向直行车流αSS和北向左转αNL互斥使用β1.将以上两对车流进行JOIN操作:(aN1,gNS,gSL)= JOIN(aNS,aSL)和(aS1,gSS,gNL)=JOIN(aSS,αNL),得到两条整合车流aN1aS1.易知,车流曲线{aN1,aNR,aS1,aSR}可同时使用路口资源β1而不产生冲突.如图9所示,曲线aN1,aNR,aS1aSR分别对应一个处理模块{GPC1,…,GPC4}.这4个模块均加载相同的资源曲线β1,并在该资源的约束下,对相应的到达车流进行服务.

Fig.9 RTC model for the fixed-time control in the dual-way intersection 图9 双行道路口定时控制的RTC模块图

注意到,GPC1和GPC3分别得到整合车流αN1αS1对应的输出曲线${\alpha '_{{\rm{N1}}}}$和${\alpha '_{{\rm{S1}}}}.$其中,${\alpha '_{{\rm{N1}}}}$是北向直行输出车流${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$和南向左转输出车流${\alpha '_{{\rm{SL}}}}$的和曲线.对${\alpha '_{{\rm{N1}}}}$进行FORK操作可获得曲线${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$和 ${\alpha '_{{\rm{SL}}}}:$

$({\alpha '_{{\rm{NS}}}},{\alpha '_{{\rm{SL}}}}) = FORK({\alpha '_{{\rm{N1}}}},{\gamma _{{\rm{NS}}}},{\gamma _{{\rm{SL}}}}).$

同理,对${\alpha '_{{\rm{S1}}}}$进行FORK操作可获得南向直行输出车流${\alpha '_{{\rm{SS}}}}$和北向左转输出车流${\alpha '_{{\rm{NL}}}}$:

$({\alpha '_{{\rm{SS}}}},{\alpha '_{{\rm{NL}}}}) = FORK({\alpha '_{{\rm{S1}}}},{\gamma _{{\rm{SS}}}},{\gamma _{{\rm{NL}}}}).$

另外,GPC2和GPC4可分别得到北向右转输出车流${\alpha '_{{\rm{NR}}}}$和南向右转输出车流.${\alpha '_{{\rm{SR}}}}$综上,图9左半部分的4个GPC模块共得到南北方向6条输出车流$\{ {\alpha '_{{\rm{NS}}}},{\alpha '_{{\rm{NR}}}},{\alpha '_{{\rm{NL}}}},{\alpha '_{{\rm{SS}}}},{\alpha '_{{\rm{SR}}}},{\alpha '_{{\rm{SL}}}}\} .$类似地,图9右半部分的4个GPC模块可得到东西方向6条输出车流$\{ {\alpha '_{{\rm{ES}}}},{\alpha '_{{\rm{ER}}}},{\alpha '_{{\rm{EL}}}},{\alpha '_{{\rm{WS}}}},{\alpha '_{{\rm{WR}}}},{\alpha '_{{\rm{WL}}}}\} .$最后,根据第2.2节中的公式(29)~公式(32),将以上12条输出车流分别代入到相应的MIX算式中,得到路口上4条最终的输出车流$\{ {\alpha '_{\rm{S}}},{\alpha '_{\rm{N}}},{\alpha '_{\rm{W}}},{\alpha '_{\rm{S}}}\} $.例如,路口向南输出车流曲线${\alpha '_{\rm{S}}}$即由${\alpha '_{{\rm{WR}}}}$和${\alpha '_{{\rm{EL}}}}$做加(PLUS)操作,再和${\alpha '_{{\rm{NS}}}}$做MIX操作得到,如图9所示.

3.2 自适应控制策略

信号灯若采用自适应控制策略,需要实时感知交通网络中变化的车流,根据实时路况信息为到达路口的车流安排优先级,从而确定各个方向上车流的通行时序.本文研究基于动态优先级调度的自适应控制策略,即,最早截止期优先(earliest deadline first,简称EDF)的自适应控制策略.在EDF策略中,为路口每个方向上的车流定义一个相对截止期d,设车流中某个单位子车流到达路口的时刻为t,则定义该单位车流的绝对截止期为t+d.若车流能够在其绝对截止期内通过路口,则称车流能够成功调度.自适应算法按照绝对截止期的大小来定义单位车流的优先级.在控制过程中,单位车流的绝对截止期距离当前时刻越近,其对应的优先级就越高.这样,路口上的绿灯信号按照车流的优先级高低,依次使各个方向上的车流通行.自适应控制策略的目标是使得路口所有方向上的车流均能在其相应的截止期内通过路口,即,路口各方向上车流均能够成功调度.

图10给出了单行道路口上自适应控制策略的RTC实现.图中的EDF模块加载路口资源b,为北向车流αN和东向车流αE提供一个截止期d,按照截止期定义的动态优先级为两条车流αNαE分时提供服务.其中,截止期d需满足公式(15),使得路口上所有车流均可调度.即:对于任意的Δ,有$(\alpha _N^u + \alpha _E^u)(\Delta - d) \le {\beta ^l}(\Delta )$成立.又结合公式(13)中最迟响应时间的定义,可得$d \le D(\alpha _N^u + \alpha _E^u,{\beta ^l}).$最后,从EDF模块输出的车流先后经过FORK和MIX运算最终得到路口的向南输出车流${\alpha '_{\rm{S}}}$和向西输出车流${\alpha '_{\rm{W}}}.$其具体运算过程与第3.1节中单行道路口定时控制的RTC模型相同,在此不再赘述.

Fig.10 RTC model for the adaptive control in the lane intersection 图10 单行道路口自适应控制的RTC模块图

双行道路口的自适应控制RTC模型如图11所示.

Fig.11 RTC model for the adaptive control in double routers 图11 双行道路口自适应控制的RTC模块图

EDF模块为南北方向和东西方向两个相位上的车流分配资源β.设EDF模块分配给南北方向上的资源为β1.与第3.1节的分析类似,南北方向6条车流中有两对车流经过JOIN操作,最终得到能够同时使用资源b1的4条互不干扰的车流{αN1,αNR,αS1,αSR},如图11所示.将这4条车流的上界拟合成曲线αN-S(Δ)=MAX{αN1(Δ),αNR(Δ),αS1(Δ),αSR(Δ)}.易知:若b1能够成功调度车流上界曲线αN-S,则β1一定能成功调度{αN1,αNR,αS1,αSR}中的任意车流.图11中的EDF模块即输入上界曲线aN-S,其对应的输出曲线定义为${\alpha '_{{\rm{N - S}}}}.$易知,${\alpha '_{{\rm{N - S}}}}$是输出曲线$\{ {\alpha '_{{\rm{N1}}}},{\alpha '_{{\rm{NR}}}},{\alpha '_{{\rm{S1}}}},{\alpha '_{{\rm{SR}}}}\} $的上界:对于任意的Δ,有${\rm{MAX}}\{ {\alpha '_{{\rm{N}}1}}(\Delta ),{\alpha '_{{\rm{NR}}}}(\Delta ),{\alpha '_{{\rm{S}}1}}(\Delta ),{\alpha '_{{\rm{SR}}}}(\Delta )\} \le {\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta )$成立.另外,根据第1.2节中的公式(16)和公式(17)可知,${\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta ) \le \beta _1^u(\Delta )$.其中,$\beta _1^u(\Delta )$即为在长度为D的时段内,资源β1能够处理的最多车辆数.如图11所示,这些输出曲线均通过其对应的到达曲线和${\alpha '_{{\rm{N - S}}}}$进行取最小(MIN)操作获得.

以${\alpha '_{{\rm{N1}}}}$为例,对于任意的Δ:

1) 若αN1(Δ)≤${\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta )$,则有αN1(Δ)<$\beta _1^u(\Delta )$成立.这意味着:在长度为Δ的时段内,资源β1能够处理完这期

间到达路口车流αN1(Δ)中的全部车辆.另外,考虑最坏情况,在时段Δ之前,路口上已有拥塞车流,其长度

上界为$B({\alpha _{{\rm{N1}}}},\beta _1^l)$,其中,$\beta _1^l(\Delta ) = {\sup _{0 \le \lambda \le \Delta }}\{ {\beta ^l}(\lambda ) - \alpha _{{\rm{E - W}}}^u(\lambda )\} $为资源曲线β1的下界.$B({\alpha _{{\rm{N1}}}},\beta _1^l)$可由公式(21)计算得出.易知:在时段Δ内,通过路口的车流${\alpha '_{{\rm{N1}}}}(\Delta )$不会超过 ${\rm{MIN}}\{ {\alpha _{{\rm{N}}1}}(\Delta ) + B({\alpha _{{\rm{N1}}}},\beta _1^l),{\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta )\} ;$

2) 若${\alpha _{{\rm{N}}1}}(\Delta ) > {\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta )$,则有${\alpha _{{\rm{N}}1}}(\Delta ) > {\alpha '_{{\rm{N1}}}}(\Delta )$成立.这意味着:在长度为Δ的时段内,资源未能处理完到达车流αN1(Δ)中的车辆.输出车流${\alpha '_{{\rm{N1}}}}(\Delta )$至多取到${\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta ).$

综上,有${\alpha '_{{\rm{N1}}}}(\Delta ) = {\rm{MIN}}\{ {\alpha _{{\rm{N}}1}}(\Delta ) + B({\alpha _{{\rm{N1}}}},\beta _1^l),{\alpha '_{{\rm{N - S}}}}(\Delta )\} $成立.类似地,东西方向上的车流也经过EDF调度和MIN操作得到4条输出车流$\{ {\alpha '_{{\rm{E1}}}},{\alpha '_{{\rm{ER}}}},{\alpha '_{{\rm{W1}}}},{\alpha '_{{\rm{WR}}}}\} $,在此不再赘述.

图11所示,通过MIN操作得到的4条输出曲线$\{ {\alpha '_{{\rm{N1}}}},{\alpha '_{{\rm{S1}}}},{\alpha '_{{\rm{E1}}}},{\alpha '_{{\rm{W1}}}}\} $又分别经过FORK操作分解成直行和左转两条输出车流,共8条输出车流$\{ {\alpha '_{{\rm{NS}}}},{\alpha '_{{\rm{SL}}}},{\alpha '_{{\rm{SS}}}},{\alpha '_{{\rm{NL}}}},{\alpha '_{{\rm{ES}}}},{\alpha '_{{\rm{WL}}}},{\alpha '_{{\rm{WS}}}},{\alpha '_{{\rm{EL}}}}\} .$这些车流以及右转输出车流${\alpha '_{{\rm{ER}}}},{\alpha '_{{\rm{WR}}}}\} $之间通过MIX操作将最终得到路口4个方向上的输出车流$\{ {\alpha '_{\rm{S}}},{\alpha '_{\rm{N}}},{\alpha '_{\rm{W}}},{\alpha '_{\rm{E}}}\} $,如图11所示.具体的MIX过程与图9类似,在此不再赘述.

4 . 实验结果及分析

本节应用MATLAB调用RTC工具包[27]实现了第3节和第4节的城市交通网络信号控制模型,分别对单行道网络和双行道网络进行模拟仿真,实验分析了定时和自适应两类控制策略的性能随网络参数的变化规律.具体实验程序代码详见https://github.com/cpsNEU/RTC-Model-for-traffic-flow-networks.

针对单行道和双行道两种情况,本节均设置了从2x2到10x10个路口组成的共8组不同规模的交通网格.每组网络分别调用定时控制和自适应控制策略对网络中的车流曲线进行处理.本节主要观测不同控制策略对交通网络的两类拥塞指标的影响:一是单位车流在路口的最长等待时间D;二是路口每个方向上最多积压的单位车流条数B.这两个拥塞指标分别对应第1.2节中定义的任务最长响应时间(delay)和模块上任务的最大积压量(backlog).定时控制网络的拥塞指标计算公式详见公式(13)和公式(14).自适应控制网络的拥塞指标则由式公式(20)和公式(21)计算得出.下面分别从单行道网络和双行道网络两方面介 绍本文的实验工作.

4.1 单行道网络中拥塞指标的影响因素

(1) 网络规模n和转向率tT对拥塞指标无影响

在单行道网络的实验中,针对固定的信号控制策略,通过改变网络规模n,自生车流频率u=e/p和转向率tT等参数,观察网络拥塞指标DB随网络参数的变化规律.其中,网络规模n从2x2取到10x10,车流频率u∈(0,1],转向率tT∈(0,1].实验发现:无论网络规模n和转向率tT取何值,只要车辆频率u和控制策略固定,拥塞指标不会发生变化,如结论1所述.

结论1. 对于给定的信号控制策略和自生车流频率,拥塞指标DB是一个固定常数,不会随着网络规模和转向率变化而发生改变.

(2) 自生车流频率u对拥塞指标的影响

自生车流的频率u=e/p在(0,1]区间变化,u越大,说明道路上的车流越稠密.图12给出了在不同控制策略下,拥塞指标DB随车流频率u的变化规律.

Fig.12 Congestion factors D and B are affected by frequence u in the lane intersection 图12 单行道网络中车流频率u对拥塞指标DB的影响

研究发现,无论是定时控制或是自适应控制,u均存在一个相同的阈值1/2:当u≤1/2时,拥塞指标DB均稳定在一个较小的常数值;当u>1/2时,拥塞指标DB则变为无穷大(INF).如图12(a)所示:若u≤1/2,定时控制对应的D为0.5,即,路口上单位车流的等待时间是其通过路口所耗时间的0.5倍;自适应控制对应的D为0,即,路口上单位车流到达路口无需等待即可通行.显然,在单行道网络中,自适应控制优于定时控制.并且从应对极端车流的角度,自适应控制策略已经达到最优.

另外,如图12(b)所示:当u≤1/2时,定时策略和自适应策略对应的B完全相同,均为1,即,路口在最坏情况下最多积压1个单位车流.注意到,车流频率u≤1/2的物理意义是:单位车流连续出现的最小时间间隔至少是其通过路口耗时的2倍.只要道路上的车流密度低于这一阈值,定时控制和自适应控制一定能成功调度网络上的交通流,如结论2所述.

结论2. 若道路上车流频率u≤1/2,且道路至少能够承载1个单位车流时,定时控制和自适应控制一定能够成功调度网络上所有路口的车流.

4.2 双行道网络中拥塞指标的影响因素

(1) 网络规模n对拥塞指标无影响

给定信号控制策略,固定自生车流频率u和转向率(tR,tL),针对8组不同规模的双行道网络进行仿真实验.发现网络规模n的改变对拥塞指标DB的取值无影响,如结论3所述.

结论3. 对于给定的信号控制策略、自生车流频率和转向率,拥塞指标DB是一个固定常数,不会随着网络规模变化而发生改变.

(2) 自生车流频率u对拥塞指标的影响

在给定转向率(tR,tL)=(1/2,1/2)的情况下,拥塞指标DB随车流频率u的变化规律如图13所示.

Fig.13 Congestion factors D and B are affected by frequence u in the dual-way intersection 图13 双行道网络中车流频率u对拥塞指标DB的影响

研究发现,车流频率u存在一个临界域(1/3,2/3]:

· 当u≤1/3时,DB稳定在一个较小常数值.其中,定时控制对应DB的取值分别为1.33和3;自适应控制对应DB的取值分别为0.66和1.98;

· 当1/3<u≤2/3时,拥塞指标DB对应一个取值范围.如图13(a)所示:在定时和自适应控制下,车流最长等待时间D分别在区域(1.33,2.33)和(0.85,1.5)内随u值递增变化.另外,如图13(b)所示:定时和自适应控制对应的路口最大积压量B在区域(3,5)和(2,5)内随u值近似阶梯状递增变化;

· 当u>2/3时,无论是定时控制还是自适应控制,其对应的DB均为无穷大.说明在最坏情况下,网络中的交通流不可调度.

另外,本节还为转向率选取多组不同取值(tR,tL)∈[(1/8,1/8)x(1,1)],发现DBu的变化规律均与图13类似,故在结论4中一并给出总结.

结论4. 给定转向率,车流频率u存在临界区域(u1,u2],其中1/3≤u1<u2≤2/3.若u落在临界域内,DBu递增变化;若uu1,则DB稳定在一个较小常数;若u>u2,则DB均为无穷大.并且当uu2时,自适应策略对应DB的取值分别比定时策略平均低1.68倍和1.26倍.

(3) 转向率(tR,tL)对拥塞指标的影响

由结论4可知,在转向率固定的情况下,拥塞指标DB随车流频率u的变化存在3个区域:一是uu1的稳定区;二是u1<uu2的临界区;三是u>u2的无解区.本节将分别在这3个区域内选取固定的车流频率,改变转向率的取值,观察拥塞指标随转向率的变化规律.

· 首先,实验发现,当u处于稳定区域(0,u1]时,无论转向率(tR,tL)取何值,拥塞系数DB的值均不会改变;

· 其次,当u落在临界区域(u1,u2]时,改变转向率(tR,tL)的取值,会引起拥塞系数DB取值发生改变.图14给出了在u=5/9时,DB取值随转向率(tR,tL)的变化规律.

Fig.14 Congestion factors D and B are affected by turn rate (tR,tL) for u=5/9 图14 转向率(tR,tL)对拥塞指标DB的影响(u=5/9)

图14(a)所示:定时控制下车流在路口的最长等待时间D随着tL的增大而增大,随着tR的增大而减小.在tR≥0.5且tL≤0.5时,D取最小值.另外,定时控制对应的路口最大积压量B随着tL的增大而增大,随着tR的增大先是急剧减小后平缓增大,如图14(b)所示.在tRxtL平面内的(1/7,1/8),(1/2,1/8)和(1/2,1/3)这3点确定的三角形域中,B取最小值.图14(c)图14(d)给出了自适应控制对应拥塞系数的变化趋势.车流最长等待时间D和路口最大积压B随着随着tL的增大而增大,随着tR的增大而减小,并在tR≥0.6且tL≤0.5时取到最小值.值得注意的是:当tR<1/7时,定时控制和自适应控制对应的DB均为无穷大.这意味着当自生车流频率为5/9且右转的车流与直行车流比例低于1:7时,无论是定时控制还是自适应控制,均不能成功调度网络中的交通流.

实验结果表明:当u∈(u1,u2]时,DB随转向率(tR,tL)的变化规律均与图14类似,如结论5所述.

结论5. 给定u∈(u1,u2],转向率存在临界值mR.当tR<mR时,定时控制和自适应控制对应的DB均取无穷大值.当tRmR时,DB的取值随着左向转向率tL呈阶梯递增趋势.

最后,当u处于区域(u2,1]时,并非转向率(tR,tL)的所有取值均使得DB取无穷大.图15给出了在u=10/13时,转向率(tR,tL)的取值对DB的影响.与图14类似,在图15中,(tR,tL)也存在明显的临界值:当tR≥1且tL≤1/3时,DB取较小数值;否则,DB取无穷大.与图14相比,图15DB取较小数值的区域变得更加狭小.

Fig.15 Congestion factors D and B are affected by turn rate (tR,tL) for u=1/3 图15 转向率(tR,tL)对拥塞指标DB的影响(u=1/3)
4.3 实验现象讨论

本节实验通过交通网络拥塞指标量化分析了定时和自适应控制策略的性能,所提出的拥塞指标DB均用于评估在最坏情况下,信号灯控制系统给路口带来的拥塞状况,也即体现了信号灯控制策略的在面临最极端车流时的最好性能(简称极端性能).这些实验结果能够从实时系统理论的角度,为ITS领域的研究提供一些新的参考和启示:

第一,由结论1和结论3可知,定时和自适应控制策略的极端性能并不受交通网络规模的影响.尤其在单行道网络中,信号控制策略的极端性能也不会受到转向率的影响.因此在实际应用中,在道路上自生车流频率稳定的前提下,不必担心交通网络规模扩大使得信号灯控制策略应对极端车流的能力变弱.

第二,纵向比较单行道网络和双行道网络中,信号灯控制策略的极端性能.由结论2和结论4可知:在道路上自生车流频率u≤1/2时,单行道网络比双行道网络更能有效地缓解交通拥塞.以定时控制策略为例,单行道网络的拥塞指标DB能够比双行道网络分别降低至少2.66倍和3倍.因此,从对应极端车流情况的角度看,在道路车流较为稀疏(u≤1/2)时,单行道网络的效率会明显优于双行道网络.当道路上车流较为稠密时(例如车流频率1/2<u≤2/3),双行道网络的DB的取值范围分别是(2,2.33)和(4,5),而单行道网络关联的DB均是无穷大.因此在1/2<u≤2/3时,单行道网络处理极端车流的能力反而不及双行道网络.注意到:在交通领域,单行道被公认为是解决城市交通拥堵、增加交通容量最直接、最经济有效的方法之一[22].根据日本国土交通省的相关研究资料,在不改变道路状况的条件下,单向交通网络能够使城市通行能力提高约30%~50%.然而有专家研究发现,单行道并不适合饱和交通的情况.在单行道网络中,一旦某个路口发生拥堵,车流的积累会快速增长,拥堵状况会迅速向相邻路口传播[28].本文结论从交通网络应对极端车流的角度佐证了交通领域专家学者的相关论断,即:在车流密度稀疏时,单行道能够有效提高交通网络的通行能力;然而当遭遇饱和交通流(车流密度1/2<u≤2/3)时,单行道网络的通行能力反而弱于双行道网络.

第三,自适应控制策略处理极端车流情况的能力明显优于定时控制:在单行道网络中,自适应控制下,车流的最长等时为0;在双行道网络中,自适应控制策略对应的DB分别比定时控制策略平均低1.68倍和1.26倍.交通领域的专家学者普遍认为:由于车辆到达的随机性和实时性,定时控制无法适应交通的动态变化;而自适应控制能够根据实时交叉口车辆的到达情况优化确定最佳相位方案以及放行时间,提高交叉口的通行效率.因此与定时控制相比,自适应控制具有更优的性能[23].本文的实验结论证明了这一观点.另外,本文中的自适应控制策略仅获取本路口及相邻路口的车流信息,属于一种分布式自适应控制[23].与集中式自适应控制策略相比,分布式策略不需要感知交通网络全局的车流信息,也就不存在通信和计算代价瓶颈问题.本节给出了分布式自适应控制策略应对极端车流的能力评估.在实际应用中,若交通网络中道路上的车流频率在临界点之内,即u≤2/3,且道路承载车流的能力也满足路口最大积压量B≥5的约束,则相较于集中式自适应控制,分布式自适应控制是更为经济的可行方案.

第四,由结论5可知:在双行道网络中,在自生车流频率u>1/3时,网络拥塞系数DB随左转车流比例的增大而增大,随右转车流比例的增大而减小;尤其当右转车流与直行车流小于1:7时,网络中出现极端车流,拥塞系数DB变为无穷大.交通领域一直关注转向车流对交通拥塞的影响.针对左转车流,已有众多学者采用建立分析计算公式、直行车当量换算系数、微观仿真模拟和实地数据回归分析等方法进行研究,均认为左转车流比例的增加会降低交叉路口的通行能力[29].本文结论5证明了这一结论的正确性,并指出:在车流密度超过阈值(u>1/3)时,该现象变得更加明显.另外,交通领域的专家学者认为:由于路口上的右转车流与其他方向车流基本不构成冲突点,因此右转车流比例的增大不会降低路口的通行能力.本文的仿真结果也验证了这一结论.另外,结论5还给出启示:在道路车流较为稠密时(u>1/3),应用车流诱导方法以改变转向率,使得路口上右转的车流与直行车流的比例超过1:7,能够减少甚至避免交通拥堵的可能性.

5 . 结束语

实时演算是评估实时系统时间特征最有效的理论模型之一.城市交通网络是一个典型的实时系统,网络中的车流瞬息万变,信号灯控制系统经常要处理车流的各种组合情况,甚至是最极端的车流组合.本文将实时演算理论应用于评估城市交通网络的信号控制系统,关注在最极端的车流环境中,信号灯控制系统的运行情况.本文分别为单行道网络和双行道网络建立了形式化模型,并在该模型上实现了定时和自适应两类控制策略.仿真实验揭示了信号灯控制策略的性能随交通网络参数的变化规律.为当前ITS领域一些研究热点,例如单行道网络解决交通拥堵的可行性、自适应控制策略的有效性以及交通网络拥堵的影响因素等问题,提供了新的理论参考.另外注意到:本文仅针对规则的城市交通网格进行仿真实验,而且针对较为简单的两相位信号灯配时方案进行建模.本文可视为应用实时演算(RTC)理论研究城市交通信号控制的第一步工作.随着物联网和智能交通技术的发展,精确地获取真实的城市交通网络拓扑成为可能.而且,考虑左(右)转车流专用相位的6相位和8相位的信号灯配时方案也成为大中城市交通控制的主流.因此,下一步的工作将应用RTC理论为真实的城市交通网络环境建模,并将本文的两相位信号灯控制模型扩展到6相位和8相位等更复杂的情况.

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