视觉密码(visual cryptography scheme,简称VCS)^[1]是秘密共享技术在数字图像领域的一种应用,继承了秘密共享的特点,同时具有自身独特的秘密恢复一般性和简单性.

作为视觉密码研究的一个主要分支,多秘密视觉密码方案(multi-secret visual cryptography scheme,简称MVCS)是指参与者仅保存一个共享份,通过共享份组合或叠加方式的变化来恢复多幅秘密图像的一类视觉密码.其中,叠加方式通常包括翻转、旋转、平移等操作,而共享份则分别采用矩形、圆形和柱面等形状.鉴于以上丰富的设计方法,多秘密视觉密码形成了一个研究热点.

目前,在门限结构下分享多幅秘密图像,依据门限数量不同,多秘密视觉密码方案包括单门限MVCS和多门限MVCS两类,二者在构造方法上具有相似的设计思想,大部分都是通过单秘密方案的基矩阵来实现的,并且单门限MVCS是设计多门限MVCS的基础.

在单门限MVCS中,门限值只有一个,数量达到门限值的共享份可以通过叠加方式的变化来恢复多幅秘密图像.显然:矩形共享份通过旋转、翻转等叠加方式最多能够分享4幅秘密图像^[2];方形共享份是矩形的一种特殊情况,最多能够分享8幅秘密图像^[3];圆形共享份在旋转叠加时不存在角度限制问题,从而可以恢复更多的图像^[4,5],但是,恢复的秘密图像在形状上存在失真.进一步的研究是将共享份做成柱面,解决了旋转角度限制和外形失真的问题^{[6, 7, 8]}.尽管上述方案实现了多幅秘密图像的分享,但存取结构仅局限于(2,2)门限结构,不适用于多个参与者.对此,Yang等人^[9]基于概率特性提出了一种(k,n)-MVCS方案,在该方案恢复的秘密图像中,原秘密图像黑白像素以一定的概率被恢复出来,虽然整体上呈现出秘密图像,但会损失原秘密图像的部分信息.为此,Yu等人^[10]提出了一种确定性的单门限多秘密视觉密码方案,实现了秘密图像的完全恢复.

在多门限MVCS中,门限值有多个,每个的门限值对应恢复一定数量的秘密图像.其中,Katoh等人^[11]设计了具有两个门限值的MVCS:第1个门限值为2,即两个共享份恢复一幅秘密图像;第2个门限值为3,即3个共享份恢复另一幅秘密图像.在共享份和秘密图像数量上均有待提高.Yu等人^[12]结合(k,n)-VCS和(k-1,k-1)-VCS,将共享份数量增加至n个,但门限值依然为2个,分别为k和k-1.乔等人^[13]和Yu等人^[14]分别利用基矩阵连接的方法提出了具有多个门限值的MVCS.为减小像素扩展度,Shyu等人^[15]提出了一种多门限MVCS.但在以上方案中,每个门限值都只对应恢复一幅秘密图像.付等人^[16]结合单门限MVCS构造了一种基于概率特性的多门限MVCS,每个门限值对应恢复多幅秘密图像,但损失了原秘密图像的部分信息.

针对以上问题,本文提出了门限多秘密视觉密码可以完全恢复的充分条件,在此基础上给出了一般性的设计方法,实现了秘密图像的完全恢复.

本文第1节给出门限多秘密视觉密码的一般定义,并证明以汉明重量定义的对比性条件是门限多秘密视觉密码可以完全恢复的充分条件.第2节依据充分条件构造一种具有上下门限值的单门限MVCS,为第3节的方案设计奠定基础.第3节在完全恢复的条件下设计一种多门限MVCS,并给出有效性证明.实验分析在第4节给出.第5节得出本文的结论.

1 完全恢复的充分条件

由于基于概率特性的方案在恢复每个像素时存在不确定性,因而会损失原秘密图像的部分信息,导致无法从恢复的秘密图像中提取出原秘密图像的所有信息.与基于概率特性的方案定义不同,本节给出了一种门限多秘密视觉密码的定义,明确了在恢复每个像素时必须满足确定的对比性条件.

设n个参与者分享t组秘密图像,第i组有d_i幅秘密图像,每幅秘密图像记为S_iu,i=1,2,…,t,u=1,2,…,d_i,秘密图像大小相等,共享份为T_j,j=1,2,…,n,$\bigcup\nolimits_r {[ \cdot ]} $表示对任意r个共享份的叠加操作,0<r≤n-1,H¹(H⁰)表示原秘密图像的黑(白)像素对应恢复图像中子像素块的汉明重量,E¹(E⁰)表示原秘密图像的黑(白)像素对应恢复图像中子像素块的汉明重量期望值.

定义1. 在恢复秘密图像S_iu时,每个共享份的旋转角度所组成的集合记为D_iu,D_iu={q_iuj|j=1,2,…,n},其中,不同的秘密图像对应的共享份旋转角度集合也有所不同,q_iuj表示在恢复秘密图像S_iu时共享份T_j的旋转角度,1≤i≤t,1≤u≤d_i,q_iujÎ[0°,360°].

定义2. n个共享份按照D_iu进行旋转操作记为$\angle {\{ {T_1},...,{T_j},...,{T_n}\} ^{{\Delta _{iu}}}},\angle {\{ {T_1},...,{T_j},...,{T_n}\} ^{{\Delta _{iu}}}} = \{ {\{ {T_j}\} ^{{\theta _{iuj}}}}|j = 1,2,...,n\} $,其中,${\{ {T_j}\} ^{{\theta _{iuj}}}}$表示在恢复秘密图像S_iu时对共享份T_j顺时针旋转q_iuj.

定义3. 一个多秘密视觉密码方案有t个门限值k₁,k₂,…,k_t,对应恢复t组秘密图像,2≤k₁<k₂<…<k_t≤n,像素扩展度为m.称该方案为(k₁,k₂,…,k_t,n)-MVCS,若方案满足以下条件:

1. 数量位于区间[k_i,k_i+1]的共享份能够恢复出第i组所有的秘密图像,数学表示为

${H^1}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{{\Delta _{iu}}}}]} ) > {H^0}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{{\Delta _{iu}}}}]} ),{k_i} \le r < {k_{i + 1}},{k_{t + 1}} =\\ n + 1,u = 1,2,...,{d_i}.$

2. 数量小于k₁的共享份不能恢复出任何一幅秘密图像,数学表示为

${E^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ {T_1}\} }^{{\varphi _1}}}{{\{ {T_2}\} }^{{\varphi _2}}},...,{{\{ {T_j}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ {T_n}\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = {E^0}(\bigcup\nolimits_r \\{[{{\{ {T_1}\} }^{{\varphi _1}}}{{\{ {T_2}\} }^{{\varphi _2}}},...,{{\{ {T_j}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ {T_n}\} }^{{\varphi _n}}}]} ),0 \le r < {k_1},0^\circ \le {\varphi _j} \le 360^\circ .$

第1个条件是对比性条件,符合条件的共享份集合按照相应的旋转角度进行旋转叠加后,可由视觉系统通过汉明重量的不同,观察出相应的秘密图像信息;第2个条件是安全性条件,不符合条件的共享份集合以任意角度旋转都无法恢复出秘密图像信息.

定义3涵盖了门限值与秘密数量的各种对应关系.

(1) 一对多关系.当t=1时,即,门限值只有一个,那么该定义退化为Yu等人^[10]所提出的单门限方案;

(2) 多对一关系.当d₁=d₂=…=d_t=1时,即,每个门限都对应恢复一幅秘密图像,那么该定义就退化为Yu等人^[14]所提出的多门限方案;

(3) 多对多关系.当不满足前两种情况时,那么该定义更加具有一般性.

定义4. 设一个视觉密码方案的原秘密图像为S,经过秘密分享算法后得到共享份集合T,通过叠加操作得到恢复的秘密图像S¢.若存在一个函数R且其计算复杂度与叠加操作相同,满足S=R(S¢),则称该视觉密码方案是可以完全恢复的.

在该方案中,叠加恢复的秘密图像虽然存在像素扩展和对比度失真现象,但是没有损失原秘密图像的任何信息,在不增加恢复操作计算复杂度的前提下,可以通过函数R从恢复的秘密图像中提取出原秘密图像的全部信息,亦即完全恢复出原秘密图像.另外,具有计算能力的智能移动终端在现实应用中日益普及,为执行函数R提供了一条有效途径,没有违背视觉密码秘密恢复的简单性原则.

定理5. 符合定义3的门限多秘密视觉密码方案是可以完全恢复的.

证明:由定义3的对比性条件可知,对于所有恢复图像的每一个子像素块而言,必然存在a,bÎN,0≤a<b≤m,满足:

${H^1}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{{\Delta _{iu}}}}]} ) \ge m - a,{H^0}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{{\Delta _i}}}]} ) \le m - b.$

即:在所有恢复图像的每一个子像素块中,原秘密图像的黑像素至少对应m-a个“1”,白像素至多对应m-b个“1”.因此,可以通过这种确定的对应关系来完全恢复原秘密图像的每个像素,其关系表达式为

${S_i} = R(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{{\Delta _{iu}}}}]} ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,{\rm{ }}H \le m - b}\\ {1,{\rm{ }}H \ge m - a} \end{array}} \right.,$

其中,H为子像素块的汉明重量.由上述关系表达式可知:函数R实际上是在叠加操作的基础上增加了判断操作,计算复杂度没有增加.定理证毕. □

综上,定义3给出的对比性条件是门限MVCS可以完全恢复的充分条件.

2 具有上下门限值的单门限MVCS

依据上述充分条件,本节在柱面共享份的基础上,以$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS的基矩阵^[15]为加密单位构造具有上下门限值的单门限$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-MVCS,为设计完全恢复的多门限方案奠定基础.需要说明的是,门限结构(k,n)是$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$的一种特例,即当k¢=n时,$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$与(k,n)是等效的.另外,$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS表达的是数量位于区间[k,k¢]的共享份能恢复出一幅秘密图像(k和k¢分别代表恢复秘密图像所需共享份数量的下限值和上限值,k≤k¢≤n),而本文$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-MVCS表达的是数量位于区间[k,k¢]的共享份能够恢复出多幅秘密图像.

由于文献^[14]中$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS的基矩阵是本文方案构造的基础,因此给出$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS基矩阵的构造如下^[14]:设N={J|JÌ{1,…,n}Ù|J|Î[k,k¢]},对任意的{i₁,…,i_e}ÎN和fÎ{0,1},存在布尔矩阵B_f(i₁,…,i_e),它由n行组成,第1行是$B_f^{(e,e)}$的第1行,...,第i_e行是$B_f^{(e,e)}$的第e行,其余行全由1组成,其中,$B_f^{(e,e)}$是(e,e)-VCS的基矩阵,即$B_0^{(e,e)}$由所有的e维偶数列组成,$B_1^{(e,e)}$由所有的e维奇数列组成;$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS的基矩阵M_f由所有的B_f(i₁,…,i_e)({i₁,…,i_e}ÎN)连接而成,然后删去M₀和M₁中相同的列,形成最终的基矩阵.

为构造具有上下门限值的单门限$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-MVCS,首先给出一种(k,n)门限结构下共享份的非规则旋转算法.

2.1 非规则旋转算法

在旋转各个共享份时,旋转角度都是相对的,本节以第1个共享份为参照(即,不进行旋转操作),在恢复第u幅秘密图像时,对应的共享份旋转角度集合记为F_u,u=1,2,…,d,记列向量F=(F₁,F₂,…,F_d)^T,建立一个与F相对应的共享份旋转标记矩阵W=(W₁,W₂,…,W_d)^T,W_u={w_uj|j=1,2,…,n},w_ujÎN,具体算法如下:

输入:门限结构(k,n)和秘密图像数量d,2≤k≤n;

输出:共享份旋转标记矩阵W和变量h,hÎN.

Step 1. 对于所有的u和j,令w_uj=0;

Step 2. 若d=1,转入Step 8,否则,转入Step 3;

Step 3. 设1≤u¢<u,对于jÎ[1,n],w_uj与所有的w_u¢j的距离组成的集合记为D_j={d|d=w_uj-w_u¢j,u¢=1,2,…,u-1};

Step 4. 令u=1;

Step 5. 令u=u+1,对于j=2,3,…,k,使w_uj=w_u-1,n+1;

Step 6. 如果k=n,转入Step 7;

否则,对于j=k+1,…,n,对w_uj进行赋值,使之满足D_j与任意k-1个D_j¢没有交集,j¢<j;

Step 7. 若u=d,则转入Step 8;否则,转入Step 5;

Step 8. 令h=w_d,n+1;

Step 9. 输出W和变量h,算法结束.

在上述算法的基础上,令$\Phi = W \cdot \frac{{{{360}^ \circ }}}{h},$其中,×表示点乘,即可得到共享份的旋转角度集合.

上述共享份旋转算法之所以称为非规则旋转算法,是因为其得到的共享份旋转角度呈现非规则的特性,随着(k,n)门限结构和秘密图像数量的变化而不断发生变化.非规则旋转算法保证了不同的秘密图像对应的共享份旋转角度集合也不同,并且保证了各秘密图像的恢复互不影响.

下面以(2,2)门限结构下分享3幅秘密图像为例,说明共享份旋转角度集合的生成过程.

以k=n=2和d=3为输入,依照非规则旋转算法流程输出$W = \left[ \begin{array}{l} {W_1}\\ {W_2}\\ {W_3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&2 \end{array} \end{array} \right]$和h=3.因此,共享份的旋转角度集合:

$\Phi = \left[ \begin{array}{l} {\Phi _1}\\ {\Phi _2}\\ {\Phi _3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {0^\circ }&{0^\circ } \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {0^\circ }&{120^\circ } \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {0^\circ }&{240^\circ } \end{array} \end{array} \right].$

该公式表示:在恢复秘密图像S₁时,T₁和T₂不做旋转;在恢复秘密图像S₂时,T₁不做旋转,T₂旋转120°;在恢复秘密图像S₃时,T₁不做旋转,T₂旋转240°.

2.2 构造方法

设t幅秘密图像的大小均为XxY,Y能被h整除,n个共享份均由XxY个子像素块组成,$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS的基矩阵记为G₀和G₁,其像素扩展度为m_g.

为了便于设计,在非规则旋转算法的基础上,本节将所有的秘密图像进行子集划分,每行像素分为Y/h个子集,每个子集包含h个像素.

定义6. 秘密图像S_u第q行第p个子集中第l个像素记为S_u(q,p,l),uÎ[1,d],qÎ[1,X],pÎ[1,Y/h],lÎ[1,h].

定义7. 在第j个共享份中,秘密图像第q行第p个子集中第l个像素所对应的子像素块记为$T_j^{qpl}$,大小为hxm_g,由h行组成,每行记为$T_j^{qpl}(l,:).$

在秘密分享时,首先根据门限结构与秘密数量设计共享份的旋转角度.在此基础上,对秘密图像划分子集.

然后,针对每个子集,结合$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS的基矩阵,利用子集分享算法对共享份进行赋值,秘密分享的示意图如图 1所示.

子集分享算法保证了利用非规则旋转算法恢复的图像不存在信息损失,具体算法如下:

输入:共享份旋转标记矩阵W、秘密图像S₁,S₂,...,S_d,G₀(G₁)和初始化共享份T₁,T₂,...,T_n;

输出:共享份T₁,T₂,...,T_n.

Step 1. 对G₀和G₁进行列变换,使得G₀和G₁的第1行相同;

Step 2. 对于第p个子集里第1幅秘密图像每行中的每个像素:

Ø 若S₁(q,p,l)=1,则$T_j^{qpl}(l,:) = {G_1}(j,:);$

Ø 否则,$T_j^{qpl}(l,:) = {G_0}(j,:);$

Step 3. 对于第p个子集,依次处理第u幅秘密图像每行中的每个像素,u=2,3,…,d:

Ø 若S_u(q,p,l)=1,则$T_j^{qp(({w_{uj}} + l - 1)\bmod h + 1)}(l,:) = {G_1}(j,:),$j=2,3,…,n;

Ø 否则,$T_j^{qp(({w_{uj}} + l - 1)\bmod h + 1)}(l,:) = {G_0}(j,:),$j=2,3,…,n;

Step 4. 输出T₁,T₂,...,T_n,算法结束.

由上述算法可知:由于每个子集里的所有像素采用相同组基矩阵G₀和G₁来进行分享,因此为了保证安全性,在整个秘密分享结束时,需要执行R_qp,表示在秘密图像每行的每个子集中,所有像素对应的子像素块进行相同的随机置换操作,取值为1到hxm_g的一个随机排列.

例如,对于(2,2)-MVCS分享3幅秘密图像,子像素块的大小为3x2,对其像素进行统一编号,经过随机置换操作的结果如图 2所示.

秘密恢复的过程则非常简单,在恢复秘密图像S_u时,n个参与者只需按照相应的旋转角度集合F_u来旋转共享份,其中,任意不少于k个共享份的叠加都可以恢复出相应的秘密图像.

3 多门限MVCS

本节以具有上下门限值的单门限MVCS为单位,通过设计旋转规则融合算法和区域合并算法,给出了一种符合定义3的多门限MVCS.

3.1 旋转规则融合算法

在定义3中,t个门限值对应恢复t组秘密图像,将其独立来看,每组相当于一个单门限MVCS,组与组之间的旋转规则可以相同,也可以不同,而后者在设计方案时不能保证满足确定的对比性条件,因此,本节采用前者,将各组秘密图像恢复时的旋转规则进行融合统一,融合后的旋转规则记为F¢,$\Phi ' = {({\Phi '_1},{\Phi '_2},...,{\Phi '_{d'}})^T},$其中,d¢=max(d₁,d₂,…,d_t),下面给出旋转规则融合算法.

输入:多门限结构(k₁,k₂,…,k_t,n)和各组秘密图像数量d₁,d₂,…,d_t;

输出:旋转规则F¢.

Step 1. 将多门限结构(k₁,k₂,…,k_t,n)拆分成单门限结构(k₁,n),(k₂,n),…,(k_t,n),则其对应恢复d₁,d₂,…,d_t幅秘密图像;

Step 2. 计算d¢=max(d₁,d₂,…,d_t);

Step 3. 依据第2.1节的非规则旋转算法,依次以(k_i,n)和d¢作为输入,求解相应的旋转规则,得到W_i,h_i;

Step 4. 计算h¢=max(h₁,h₂,…,h_t),从W₁,W₂,…,W_t中找出对应于h的W¢;

Step 5. 输出$\Phi ' = W' \cdot \frac{{360^\circ }}{{h'}},$算法结束.

上述的旋转规则算法保证了各组秘密图像的恢复具有相同的旋转规则,下面以(2,3,3)-MVCS分享两组秘密图像为例,说明旋转规则融合的生成过程,其中,第1组有3幅秘密图像,第2组有2幅秘密图像.

· 首先,以k₁=2,n=3和d¢=3为输入,依照非规则旋转算法流程输出${W_1} = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 3&6 \end{array}} \end{array} \end{array} \right]$和h₁=7;

· 其次,以k₂=3,n=3和d¢=3为输入,依照非规则旋转算法流程输出${W_2} = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&2&2 \end{array} \end{array} \right]$和h₂=3.

因此,融合后的旋转角度集合为

$\Phi ' = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 3&6 \end{array}} \end{array} \end{array} \right] \cdot \frac{{360^\circ }}{7}.$

该公式表示:

· 在恢复第1组秘密图像时

${S'_{11}} = \bigcup\nolimits_2 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\{ 0^\circ ,0^\circ ,0^\circ \} }}]} ,{S'_{12}} = \bigcup\nolimits_2 {\left[ {\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\left\{ {0^\circ ,\frac{1}{7} \times 360^\circ ,\frac{2}{7} \times 360^\circ } \right\}}}} \right]} ,{S'_{13}} = \bigcup\nolimits_2 {\left[ {{T_1},{{\{ {T_2}\} }^{\frac{3}{7} \times 360^\circ }},\\{{\{ {T_3}\} }^{\frac{6}{7} \times 360^\circ }}} \right]} $;

· 在恢复第2组秘密图像时

${S'_{21}} = \bigcup\nolimits_3 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\{ 0^\circ ,0^\circ ,0^\circ \} }}]} ,{S'_{22}} = \bigcup\nolimits_3 {\left[ {\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\left\{ {0^\circ ,\frac{1}{7} \times 360^\circ ,\frac{2}{7} \times 360^\circ } \right\}}}} \right]} $.

3.2 方案流程

设每幅秘密图像的大小均为XxY,Y能被h¢整除,n个共享份均由XxY个子像素块组成.

现有多门限方案的设计方法是:首先,将单秘密方案的基矩阵进行连接;然后,根据所有秘密图像相应位置的像素,选择不同的基矩阵来进行秘密分享,但尚未解决在完全恢复的条件下相同的门限值对应恢复多幅秘密图像的问题.本节在旋转规则融合算法的基础上,结合$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-MVCS构造方法和区域合并算法,给出了一种完

全恢复的多门限方案.具体的秘密分享过程如图 3所示.

其中,共享份区域合并算法保证了组与组之间恢复的秘密图像互不干扰,具体步骤如下:

输入:每个$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline {{k_{i + 1}} - 1}} }\\ {{k_i}} \end{array},n} \right)$-MVCS分享模块生成的共享份$T_1^i,T_2^i,...,T_n^i$,大小为$h'X \times m_g^iY,$其中,$m_g^i$表示$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline {{k_{i + 1}} - 1}} }\\ {{k_i}} \end{array},n} \right)$-VCS的像素扩展度;

输出:最终的共享份T₁,T₂,…,T_n.

Step 1. 生成n个空白共享份T₁,T₂,…,T_n,令其大小为$h'X \times Y\sum\limits_1^t {m_g^i} ,$即,每个子像素块的大小为$h' \times \sum\limits_1^t {m_g^i} ;$

Step 2. 依次将各个分享模块生成的共享份$T_1^i,T_2^i,...,T_n^i$的对应子像素块进行连接,将其赋值给T₁,T₂,…,T_n的对应子像素块;

Step 3. 输出T₁,T₂,…,T_n,算法结束.

在恢复各组秘密图像时,按照融合后的旋转规则分别进行旋转叠加,即可恢复相应的秘密图像.

3.3 有效性证明

引理8. 方案流程中的$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-MVCS是一种符合定义3的单门限多秘密视觉密码方案,即满足以下条件:

1. 少于k个共享份和多于k¢个共享份都无法恢复出任何一幅秘密图像,数学表示为

${E^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ {T_1}\} }^{{\varphi _1}}},{{\{ {T_2}\} }^{{\varphi _2}}},...,{{\{ {T_j}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ {T_n}\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = {E^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ {T_1}\} }^{{\varphi _1}}},{{\{ {T_2}\} }^{{\varphi _2}}},...,{{\{ {T_j}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ {T_n}\} }^{{\varphi _n}}}]} ),$

其中,1≤r≤k,k¢<r≤n,0°≤j_j≤360°.

2. 按照融合后的旋转规则F¢来旋转n个共享份,其中,数量位于区间[k,k¢]的共享份可以恢复出相应的秘密图像,数学表示为

${H^1}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{\Phi '}}]} ) > {H^0}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{\Phi '}}]} ),k \le r \le k'.$

证明:

1. 安全性证明.

对于$\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}\} }^{{\varphi _n}}}]} $,根据第2.2节的子集分享算法可得,r个子像素块的叠加包括以下3种情况:

(1) r个子像素块对应的行含有全1行.对于任意一幅秘密图像:

${H^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = \\{H^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = {m_g}.$

(2) r个子像素块对应的行含有与秘密图像无关的随机行.对于任意一幅秘密图像:

${E^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = \\{E^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ).$

(3) r个子像素块对应的行组成$\left( {\frac{{k'}}{k},n} \right)$-VCS基矩阵的r行:

Ø 当1≤r<k时,对于任意一幅秘密图像:

${H^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = \\{H^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) < {m_g};$

Ø 当k¢<r≤n时,对于任意一幅秘密图像:

${H^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = \\{H^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}(l,:)\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = {m_g}.$

综上,对于任意一幅秘密图像:

${E^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = {E^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ T_1^{qpl}\} }^{{\varphi _1}}},...,{{\{ T_j^{qpl}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ T_n^{qpl}\} }^{{\varphi _n}}}]} ).$

因此,${E^1}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ {T_1}\} }^{{\varphi _1}}},{{\{ {T_2}\} }^{{\varphi _2}}},...,{{\{ {T_j}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ {T_n}\} }^{{\varphi _n}}}]} ) = {E^0}(\bigcup\nolimits_r {[{{\{ {T_1}\} }^{{\varphi _1}}},{{\{ {T_2}\} }^{{\varphi _2}}},...,{{\{ {T_j}\} }^{{\varphi _j}}},...,{{\{ {T_n}\} }^{{\varphi _n}}}]} ).$

2. 对比性证明.

按照融合后的旋转规则F¢依次旋转共享份,由子集分享算法可知:

对于秘密图像S_u,$T_1^{qpl}(l,:),...,T_j^{qp(({{w'}_{uj}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(l,:),...,T_n^{qp(({{w'}_{un}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(l,:)$共同组成了$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-VCS的基矩阵.

由于k≤r≤k¢,因此:

$\begin{array}{l} {H^1}(\bigcup\nolimits_r {[T_1^{qpl}(l,:),...,T_j^{qp(({{w'}_{uj}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(l,:),...,T_n^{qp(({{w'}_{un}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(l,:)]} ) > \\ {H^0}(\bigcup\nolimits_r {[T_1^{qpl}(l,:),...,T_j^{qp(({{w'}_{uj}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(l,:),...,T_n^{qp(({{w'}_{un}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(l,:)]} ); \end{array}$

又$T_1^{qpl}(z,:),...,T_j^{qp(({{w'}_{uj}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(z,:),...,T_n^{qp(({{w'}_{un}} + l - 1)\bmod h' + 1)}(z,:)$中任取k个,至少有一个为$\underbrace {11...1}_{{m_g}},z \in [1,h'],z \ne l.$

因而:

${H^1}(\bigcup\nolimits_r {[T_1^{qpl},...,T_j^{qp(({{w'}_{uj}} + l - 1)\bmod h' + 1)},...,T_n^{qp(({{w'}_{un}} + l - 1)\bmod h' + 1)}]} ) > \\{H^0}(\bigcup\nolimits_r {[T_1^{qpl},...,T_j^{qp(({{w'}_{uj}} + l - 1)\bmod h' + 1)},...,T_n^{qp(({{w'}_{un}} + l - 1)\bmod h' + 1)}]} ).$

因此,对于任意一幅秘密图像:${H^1}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{\Phi '}}]} ) > {H^0}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{\Phi '}}]} ).$

引理证毕. □

定理9. 通过本方案实现的(k₁,k₂,…,k_t,n)-MVCS满足定义3的安全性和对比性条件.

证明:

1. 安全性证明.

由于2≤k₁<k₂<…<k_t≤n,所以数量小于k₁的共享份都能满足每个$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\underline{\underline {k'}} }\\k\end{array},n} \right)$-MVCS分享模块的安全性条件,而共享份区域合并算法不会影响各个分享模块的安全性条件,因此,数量小于k₁的共享份不能恢复出任何一幅秘密图像.

2. 对比性证明.

按照融合后的旋转规则F¢旋转各个共享份,对于数量位于区间[k_i,k_i+1)的共享份进行叠加操作,在恢复第i组的任意一幅秘密图像时,恢复图像中每个子像素块包括以下两个区域:

(1) 分享模块$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline {{k_2} - 1}} }\\ {{k_1}} \end{array},n} \right)$-MVCS,…,$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline {{k_i} - 1}} }\\ {{k_{i - 1}}} \end{array},n} \right)$-MVCS,$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline {{k_{i + 2}} - 1}} }\\ {{k_{i + 1}}} \end{array},n} \right)$-MVCS,…,(k_t,n)-MVCS对应的区域.由

引理8安全性证明中的第(3)种情况可知,子像素块中该区域对应的汉明重量满足H¹=H⁰;

(2) 分享模块$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline {{k_{i + 1}} - 1}} }\\ {{k_i}} \end{array},n} \right)$-MVCS对应的区域.由引理8的对比性证明可知,子像素块中该区域对应的汉明重量满足H¹>H⁰.

因此,数量位于区间[k_i,k_i+1]的共享份能够恢复出第i组所有的秘密图像,即,满足:

${H^1}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{\Phi '}}]} ) > {H^0}(\bigcup\nolimits_r {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},...,{T_n}\} }^{\Phi '}}]} ),{k_i} \le r < {k_{i + 1}}.$

定理证毕. □

4 实验分析

表 1是本文方案与其他多秘密方案的一个综合对比.

由图 4可知,本文方案在秘密图像能够完全恢复的同时,实现了门限值与秘密数量多对多的对应关系,能够进一步满足实际应用需求.

为了进一步说明本文方案在完全恢复的条件下门限值与秘密数量关系的有效性和一般性,下面分别从一对多、多对一和多对多的对应关系进行实验验证.需要说明的是:为了更好地呈现实验结果,实验中的图像均为展开的平面图.

(1) 一对多关系

图 5~图 7分别给出了(2,2),(2,3),(3,3)门限结构下分享3幅秘密图像的实验结果.

在图 5中,(2,2)-VCS的基矩阵为${M_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \end{array}} \right],{M_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1 \end{array} \end{array}} \right]$,依据非规则旋转算法得到$W = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&2 \end{array} \end{array} \right],$h=3.因此,

${S'_1} = \bigcup\nolimits_2 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2}\} }^{\{ 0^\circ ,0^\circ \} }}]} ,{S'_2} = \bigcup\nolimits_2 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2}\} }^{\{ 0^\circ ,120^\circ \} }}]} ,{S'_3} = \bigcup\nolimits_2 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2}\} }^{\{ 0^\circ ,240^\circ \} }}]} .$

在图 6中,(2,3)-VCS的基矩阵为${M_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \end{array} \end{array} \end{array}} \right],{M_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 1 \end{array} \end{array} \end{array} \end{array}} \right]$,依据非规则旋转算法得到$W = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 3&6 \end{array}} \end{array} \end{array} \right],$

h=7.因此,

${S'_1} = \bigcup\nolimits_2 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\{ 0^\circ ,0^\circ ,0^\circ \} }}]} ,{S'_2} = \bigcup\nolimits_2 {\left[ {\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\left\{ {0^\circ ,\frac{1}{7} \times 360^\circ ,\frac{2}{7} \times 360^\circ } \right\}}}} \right]} ,{S'_3} = \\\bigcup\nolimits_2 {\left[ {{T_1},{{\{ {T_2}\} }^{\frac{3}{7} \times 360^\circ }},{{\{ {T_3}\} }^{\frac{6}{7} \times 360^\circ }}} \right]} .$

在图 7中,(3,3)-VCS的基矩阵为${M_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1&0 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&1 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&1 \end{array}} \end{array}} \right],{M_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&1 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&1 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&1 \end{array}} \end{array}} \right]$,依据非规则旋转算法得到:

$W = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1 \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&2&2 \end{array} \end{array} \right]$,h=3.

因此,

${S'_1} = \bigcup\nolimits_3 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\{ 0^\circ ,0^\circ ,0^\circ \} }}]} ,{S'_2} = \bigcup\nolimits_3 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\{ 0^\circ ,120^\circ ,120^\circ \} }}]} ,{S'_3} = \bigcup\nolimits_3 {[\angle {{\{ {T_1},{T_2},{T_3}\} }^{\{ 0^\circ ,240^\circ ,240^\circ \} }}]} .$

由图 5~图 7可得:共享份没有泄露秘密信息,并且数量少于门限值的共享份叠加也无法恢复任何一幅秘密图像;数量达到门限值的共享份按照非规则旋转算法进行旋转后叠加,能够恢复出相应的秘密图像.同时,按照

原秘密图像与恢复秘密图像的函数关系$S = R(S') = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,{\rm{ }}H = m - 1}\\ {1,{\rm{ }}H = m} \end{array}} \right.,$可以得到完全恢复的秘密图像.

(2) 多对一关系

图 8给出了(2,4,4)-MVCS分享两幅秘密图像的实验结果.其中,

· $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline 3} }\\ 2 \end{array},4} \right)$-VCS的基矩阵为$G_0^1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&0&0&0\\ 1&1&0&1&0&0\\ 1&1&0&0&1&0\\ 1&1&0&0&0&1 \end{array}} \right],G_1^1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&0&0&0\\ 1&0&0&1&1&0\\ 0&1&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&1&1 \end{array}} \right];$

· (4,4)-VCS的基矩阵为$G_0^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1&1&0&0&0&1\\ 0&1&0&0&1&1&0&1\\ 0&0&1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&1&0&1&1&1 \end{array}} \right],G_1^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&1&1&1&0\\ 0&1&0&0&1&1&0&1\\ 0&0&1&0&1&0&1&1\\ 0&0&0&1&0&1&1&1 \end{array}} \right].$

根据旋转规则融合算法,得到恢复秘密图像的旋转规则为$\Phi ' = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}} \end{array} \end{array} \right] \cdot \frac{{360^\circ }}{1},$即,不旋转.

对于本实验,像素扩展度为14,如果仅在图像宽度上进行扩展,会带来严重的失真.为了减小失真程度,结合秘密图像的大小比例,本实验在宽度上扩展2倍,同时在高度上扩展7倍,达到了较好的实验效果.

由图 8可得:单个共享份没有泄露秘密信息;数量达到门限值的共享份叠加,能够恢复出相应的秘密图像.同时,按照下面的函数关系,可以得到完全恢复的秘密图像:

· 对于第1幅秘密图像,

· 对于第2幅秘密图像,$S = R(S') = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,{\rm{ }}H = 14 - 1}\\ {1,{\rm{ }}H = 14} \end{array}} \right.$

(3) 多对多关系

图 9所示为多对多关系验证实验待分享的秘密图像.图 10给出了(2,3,3)-MVCS分享两组秘密图像的实验结果,每组秘密图像各有两幅秘密图像.其中,

· $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline 2} }\\ 2 \end{array},3} \right)$-VCS的基矩阵为$G_0^1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \end{array}}&\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \end{array}}&\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \end{array}} \right],G_1^1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 0\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \end{array}}&\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \end{array}}&\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 0\\ 1 \end{array} \end{array}} \right];$

· (3,3)-VCS的基矩阵为$G_0^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 0\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \end{array}} \right],G_1^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1\\ 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 1\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \end{array}} \right].$

根据旋转规则融合算法,得到恢复秘密图像的旋转规则为$\Phi ' = \left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \end{array}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} 0&{\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \end{array}} \end{array} \end{array} \right] \cdot \frac{{360^\circ }}{3}.$

由图 10可以得到:3个共享份满足安全性条件;门限值2对应恢复出两幅秘密图像,门限值3对应恢复出另外两幅秘密图像,满足对比性条件.同时,依据本文方案的构造方法与$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline 2} }\\ 2 \end{array},3} \right)$-VCS和(3,3)-VCS基矩阵的对比性能够计算得出:

· 对应于第1组秘密图像的$S = R(S') = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,{\rm{ }}H = 30 - 2}\\ {1,{\rm{ }}H = 30 - 1} \end{array}} \right.;$

· 对应于第2组秘密图像的$S = R(S') = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,{\rm{ }}H = 30 - 1}\\ {1,{\rm{ }}H = 30} \end{array}} \right.$

由此可以实现秘密图像的完全恢复,达到了预期效果.

5 结 论

本文对完全恢复的门限多秘密视觉密码进行了研究,给出了门限多秘密视觉密码可以完全恢复的充分条件,并构造了一种具有一般性的门限多秘密视觉密码方案,完善了完全恢复方案的存取结构,拓展了应用范围.

但本文方案的像素扩展度$m = h' \times \sum\limits_1^t {m_g^i} ,$如何在完全恢复条件下使得像素扩展度最小,还有待进一步加以研究.

致谢 在此,我们向对本文的工作给予支持和建议的同行表示诚挚的感谢.