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  软件学报  2015, Vol. 26 Issue (11): 2820-2835   PDF    
大数据的密度统计合并算法
刘贝贝1, 马儒宁1 , 丁军娣2    
1. 南京航空航天大学 理学院, 江苏 南京 211100;
2. 南京理工大学 计算机科学与技术学院, 江苏 南京 210094
摘要: 针对处理大数据时传统聚类算法失效或效果不理想的问题,提出了一种大数据的密度统计合并算法(density-based statistical merging algorithm for large data sets,简称DSML).该算法将数据点的每个特征看作一组独立随机变量,并根据独立有限差分不等式获得统计合并判定准则.首先,使用统计合并判定准则对Leaders算法做出改进,获得代表点集;随后,结合代表点的密度和邻域信息,再次使用统计合并判定准则完成对整个数据集的聚类.理论分析和实验结果表明,DSML算法具有近似线性的时间复杂度,能处理任意形状的数据集,且对噪声具有良好的鲁棒性,非常有利于处理大规模数据集.
关键词聚类    抽样    代表点    密度    大数据    
Density-Based Statistical Merging Algorithm for Large Data Sets
LIU Bei-Bei1, MA Ru-Ning1 , DING Jun-Di2    
1. College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211100, China;
2. School of Computer Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China
Abstract: To tackle the failure of traditional clustering algorithms in dealing with large-scale data, the paper proposes a density-based statistical merging algorithm for large data sets (DSML). The algorithm takes each feature of data points as a set of independent random variable, and gets statistical merger criteria from the independent bounded difference inequality. To begin with, DSML improves Leaders algorithm by using the statistical merger criteria, and makes the improved algorithm as the sampling algorithm to obtain representative points. Secondly, combined with the density and the neighborhood information of representative points, the algorithm uses statistical merger criteria again to complete the clustering of the whole data set. Theoretical analysis and experimental results show that, DSML algorithm has nearly linear time complexity, can handle arbitrary data sets, and is insensitive to noise data. This fully proves the validity of DSML algorithm for large data sets.
Key words: clustering    sampling    leader    density    large data    

聚类[1,2,3]作为一项重要的数据分析技术,是将给定的数据集划分成互不相交的非空子集的过程.每个非空子集代表一个类别,属于同一类别的数据点具有较高的相似性,而属于不同类别的数据点具有较大的差异性.聚类分析在模式识别、数据挖掘、信息处理、机器学习等领域都具有广泛的应用前景.目前已有多种聚类算法被开发应用.根据形成方式的不同,可以将其大致归纳为划分聚类算法和层次聚类算法[3].

划分聚类算法又可称为分割聚类算法.它首先根据给定的要构建的划分数目k选定每一类别的代表点,在遵循类内相似原则的情况下创建初始划分;然后,采用一种迭代的重定位技术尝试改变代表点的位置以优化评价准则函数值;最后,选取评价准则函数值最优时的划分为最佳分割.最具代表性且应用范围最广的划分聚类算法是K-means算法[4].该算法选取误差平方和函数作为评价准则函数,其对初始聚类中心和噪声点较为敏感,且面对非凸数据集时易陷入局部最优.随后,具有鲁棒性的K-medoids算法[5]应运而生,该算法用每个类别中与其他点距离之和最小的真实数据点来代表该簇,有效地消除了噪声点对聚类结果的影响.PAM算法[6]是最早的K-medoids算法之一,其划分思想主要是针对数据集中成对的数据点,首先随机选取k个数据点作为代表对象,然后反复地用非代表对象代替代表对象,试图通过这种方式改进聚类质量,最终找到最优的聚类结果.但随着所处理数据集规模和簇的数目的增大,该算法的性能会随之变差.

层次聚类算法也可以称为树聚类算法.其主要思想是:对给定的数据集依照相似性矩阵进行层次分解,使得聚类结果可以由二叉树或系统树图描述.根据层次形成方式的不同,又可将该算法分为分裂式和凝聚式.分裂式层次聚类算法首先将数据集看作一类,然后依照类内最大相似性的原则将数据集逐渐细分,直到满足终止条件或每一个数据点构成一类时停止分裂.整体采用一种“自顶向下”的方式进行.由于对含有N个对象的数据集,该算法将其划分成两个子集有2N-1-1种可能,计算量是相对较大的,因此,分裂式层次聚类算法在实践中并不常用.MONA和DIANA算法[7]都是分裂式层次聚类算法.凝聚式层次聚类算法的过程正好与分裂式相反,它首先将数据集的每个数据点看作一类,然后进行一系列的合并操作,直到满足终止条件或所有数据点归为一类时停止凝聚.整体采用一种“自底向上”的方式进行.常见的以距离作为类间相似性衡量准则的凝聚式层次聚类算法有Single-link,Complete-link,Average-link算法[6].三者的不同之处在于它们对类间距离的定义不同:Single-link算法将两个不同类别内点与点的最小距离作为类间距离,而Complete-link和Average-link算法则分别将两个不同类别内点与点的最大距离和平均距离作为类间距离,这就导致合并过程中类别间的相似性不同.由于Single- link和Complete-link算法采用了距离运算的两个极端值,使得聚类结果无论是对噪声或是数据点的波动都很敏感;而Average-link算法采用的平均距离虽然不能合理地表示数据点的全局信息,但在一定程度上增加了算法对噪声的鲁棒性.

由于划分聚类算法(如K-means算法)大都只能聚类凸状或云团状数据集,而层次聚类算法(如Single-link算法)一般计算量大且对噪声点敏感,为弥补这些缺陷,提出了基于密度的聚类算法.该类方法从对象分布区域的密度着手,认为各目标簇都是由一些稠密对象所组成的,簇与簇之间被一些稀疏对象(如噪声)分割.算法的目的就是通过发现稠密对象,过滤稀疏对象,形成各种不同形状的聚类.最经典的基于密度的聚类算法为DBSCAN算法[8],该算法将每一数据点固定半径的邻域内所包含数据点的个数作为密度信息,然后利用密度阈值将数据集中的点分为稠密点和非稠密点,通过稠密点不断凝聚其邻域内的其他稠密点来形成聚类,当某类别中稠密点邻域内没有可凝聚的新稠密点时,该类别聚类结束.DBSCAN算法在不需要人工输入聚类个数的情况下,不仅可以聚类任意形状的数据集,而且对噪声具有良好的鲁棒性.但该算法对涉及到的两个参数(邻域半径和邻域内数据点个数阈值)十分敏感,参数微小的变化都会导致聚类结果产生较大的差异.为了提高DBSCAN算法的聚类效率,在其基础上提出了多种改进算法,如OPTICS算法[9]、NBC算法[10]等.OPTICS算法并不直接将数据集中的对象分配给某一簇,而是通过额外存储每一对象的核心距离和可达距离获得一个有序的列表,随后,根据列表中的有效信息提取聚类.由于参数微小的变化对列表的排序影响不大,因此,OPTICS算法对参数的选取并不敏感. NBC算法的整体聚类思想与DBSCAN算法的相同,但在判断数据点是否为稠密点时,NBC算法选用其k邻域与反k邻域中包含数据点个数的比值作为判断依据,将算法的参数减少为一个(最近邻个数k).2014年,在Science的一篇文章《Clustering by fast search and find of density peaks》[11]中,提出了一种基于密度的聚类算法.该算法将高于附近点的密度,且与更高密度的点距离相对较远的数据点定义为聚类中心.算法依据该定义,首先对每一数据点计算局部密度和与更高密度点的最小距离,然后,通过两者绘制的决策图来确定聚类中心.对剩余数据点,按照与它相距最近的更高密度点所属类别进行归类.该算法只需考虑点与点之间的距离信息,且对任意形状和含有噪声点的数据集都能很好地聚类,为基于密度的聚类算法提供了新的思路.

大多数传统聚类算法已经较为成功地解决了小规模数据的聚类问题,但是随着数据库技术和网络技术的迅猛发展,数据源开始不断地膨胀,人们获取的数据集规模逐渐增大,数据结构也变得日渐复杂.面对越来越多的具有类间相似和类内相异特征的大型数据集,传统聚类算法显得力不从心.表 1中总结了几种经典传统聚类算法的时间和空间复杂度,可以看到,K-means算法的时间复杂度在n远大于K的情况下,可看作与n成线性关系,这虽然满足了大规模数据聚类对算法复杂度的要求,但该算法包含NP难题,且迭代次数依赖于初始聚类中心,在实际处理大规模数据时极不方便;而其他几种算法的时间复杂度与n成非线性关系,随着数据集中包含对象的增多,时间复杂度会明显增大,这不仅影响到算法聚类的精确度,而且使算法在运行时间上也大大超出了现实的承受范围,因此它们不适合处理大规模数据.

Table 1 Time and space complexity of classic traditional clustering approaches表 1 经典传统聚类算法的时间和空间复杂度

处于大数据时代,如何解决大规模数据的聚类问题尤为重要.目前,研究人员从传统聚类算法失效的原因出发,以提高聚类算法的可扩展性和高效性为目的,提出了几种新颖的聚类思想作为解决方案[12]:

• 第1种是数据抽样:对原始数据集中具有代表性的子集进行聚类,然后在子集中找到各簇的代表点,将剩余数据点归到相似性最大的簇中.

• 第2种是并行处理:先将大数据集划分成小数据集,然后对每个小数据集同时进行聚类,将获得的聚类结果合并为最终聚类结果.

• 第3种是数据压缩:将原始数据集中的多个样本用其他占用内存较小的变量(如向量或矩阵)表示,从而降低算法所需内存.

这3种聚类思想均不受数据规模的限制,尤其适合处理大型数据集的聚类问题.

本文主要从数据抽样的角度对聚类算法进行研究,并在已有算法的基础上提出一种新的基于抽样的大数据聚类算法.第1节回顾几种经典的基于抽样的大数据聚类算法,并简单介绍新提出的聚类算法(density-based statistical merging algorithm for large data sets,简称DSML).第2节详细描述Leaders算法和改进后的Statistical Leaders算法的聚类过程,同时,对Statistical Leaders算法进行实验分析.第3节给出完整的DSML算法的具体步骤、实现过程及时空复杂度,并将DSML算法与Rough-DBSCAN算法做出对比分析.第4节是对全文的总结.

1 研究基础

经典的基于抽样的大数据聚类算法包括CLARA(CLARANS)算法、BIRCH算法、CURE算法等.

CLARA算法[6]首先对原始数据集进行随机抽样,获得样本集;然后,利用PAM算法获得各簇的中心点.多次重复上述过程,最终得到最优聚类结果.CLARANS算法[13]则在每一次循环过程中都进行不同的抽样,降低了算法对噪声的敏感度,提高了聚类质量.但这两类算法对数据的输入顺序较敏感,且只能处理凸状或球状的数据集.1996年,Zhang等人提出了BIRCH算法[14].该算法通过引入聚类特征(CF)和聚类特征树(CF树)两个特有的概念,将原始数据集用树形结构压缩存储.新颖的数据结构不仅使算法节省了存储空间和运算量,而且也增强了对噪声的鲁棒性.但BIRCH算法同样对数据的输入顺序十分敏感,且对非凸状数据集不能很好地聚类.为使聚类算法能够处理任意形状的大型数据集,提出了基于多个代表点的CURE算法[15].在该算法中,选取一组固定数目且散布较好的点作为簇代表点,这使算法能够较为准确地捕获到簇的形状和大小.同时,通过代表点向簇质心的收缩,抑制了噪声点对聚类结果的影响,且增强了算法对不同簇稠密程度的辨识能力.面对任意形状的大型数据集,CURE算法首先对原始数据集进行随机抽样,然后对样本集进行划分,消除异常点,选取划分类别中局部的簇进行聚类,进而实现对整个数据集的最终聚类.CURE算法虽然能够发现非凸集、差异较大的簇和异常点,但其收缩因子往往较难确定,过大、过小都会削弱算法的聚类优势.

通过对上述聚类算法的分析可知,选取样本集的质量以及对样本集的聚类情况决定了基于抽样的聚类算法对大规模数据聚类的有效性.在寻求更优的聚类算法的道路上,一种简单、快速的增量聚类算法——Leaders算法[16-18]逐渐成为研究的热点.该算法通过选取每一簇的代表点leader来完成聚类,过程中虽忽略了数据点类别归属的模糊性,但其优势在于只需扫描一遍数据集,不需指定聚类个数,且只对选出的代表点leader进行存储.

大多数研究人员将Leaders算法作为预处理算法,并结合其他聚类算法用以处理大规模数据.例如,2004年, Vijaya等人在Leaders算法的基础上提出了层次聚类算法Leaders-Subleaders算法[16],在获得第1层leader后,继续利用Leaders算法对每一簇获得subleader,有效地提高了算法在处理大型数据集时的聚类精度;针对SVM及DBSCAN算法不能很好地聚类大型数据集的问题,Enrique Romero利用Leaders算法对数据集进行预处理,并在获得的具有代表性的训练集上应用SVM算法,在保证高分类准确率的情况下,明显地降低了算法的复杂度和运行时间[17];而Viswanath等人将Leaders算法与DBSCAN算法相结合,提出了针对大数据的Rough- DBSCAN算法[18].在该算法中,首先用固定leader产生顺序的Leaders算法对原始数据集进行初始划分,获得代表点集(leader集)、每一类别包含的数据点及其个数;然后针对代表点集,应用DBSCAN算法进行聚类;在判断当前leader是否为稠密点时,单纯依靠其固定半径的邻域内leader的个数并不合理,因此,基于模糊集理论的Rough-DBSCAN算法将当前leader固定半径的邻域内所有leader代表类别内包含数据点的个数作为判断其稠密程度的依据.图 1给出了判断稠密点时leader可能出现的3种位置情况.记ld为当前leader,其ε邻域内的数据点由3部分组成:ld1及其代表类别内的所有数据点、ld2及其代表类别内的部分数据点、ld3代表类别内的部分数据点.Rough-DBSCAN算法假设数据点在小范围内的分布是均匀的,用ld2类别内阴影区域的数据点代替ld3类别内阴影区域的数据点,即,只将满足||ldi-ld||≤ε的leader代表类别内的数据点计入ε邻域,近似合理地估计了当前leader的稠密程度.在代表点集聚类结束后,算法根据数据点与leader的对应关系完成对原始数据集的聚类.Rough-DBSCAN算法在聚类效果上与DBSCAN算法十分接近,它不仅保留了DBSCAN算法的聚类优势,而且将算法的时间复杂度降低为O(n),非常有利于实际应用.

Fig. 1 Three possible locations of leader in the neighborhood 图 1 邻域内leader可能出现的3种位置情况

受Rough-DBSCAN算法的启发,本文基于抽样思想提出了针对大数据的密度统计合并算法(DSML).该算法的主要特点是:将数据点的每个特征看作一组独立随机变量,并根据独立有限差分不等式获得统计合并判定准则.在聚类之前,DSML算法利用统计合并判定准则对Leaders算法做出改进,并将改进后获得的Statistical Leaders算法作为自身的抽样算法.其聚类步骤如下:

1) 利用改进后的Leaders算法(statistical leaders)对原始数据集进行抽样,获得代表点集、每一leader代表类别内包含的数据点及其个数.

2) 确定每一leader在代表点集中的k邻域和密度信息,按照密度从大到小的顺序依次将leader同其k邻域内的点进行统计合并判定,实现对代表点集的聚类.

3) 依照leader的类别归属,将其代表类别内包含的数据点进行相同的归类,完成对整个数据集的聚类.

相对于前面介绍的Rough-DBSCAN算法,DSML算法在聚类过程中不仅利用了数据点的密度信息,而且利用了统计合并判定准则得出的数据点每一特征的差异性信息.因此,该算法对噪声具有更好的鲁棒性,对非凸形状或密度不均的大型数据集具有更好的聚类效果.同时,该算法还延续了抽样算法的聚类优势,运行时间要快于Rough-DBSCAN算法,对处理大规模数据十分有利.

2 Statistical Leaders算法

Statistical Leaders算法作为DSML算法的抽样算法,是在改进Leaders算法的基础上得来的.

2.1 Leaders算法

Leaders算法是一种增量聚类算法,其聚类结果取决于对代表点leader的选取.具体而言,该算法首先从数据集中任取一点作为起始leader,然后依次计算剩余数据点与已有leader之间的欧式距离:若小于或等于给定阈值,则将数据点同当前leader归为一类;若大于给定阈值,则将数据点作为一个新的leader.重复上述步骤,直到完成对整个数据集的聚类.过程细节见算法1.

算法1. Leaders.

输入:数据集X;距离阈值T.

1. 将leader的集合L初始化为空集,leader的个数l初始化为0;

2. for 数据集X中的每一个数据点x do

3.     寻找一个leader满足:leader∈L且||leader-x||≤T;

4.     if (没有满足条件的leader或L=∅) then

5.         L=L∪{x}; l=l+1;

6.     else

7.         将该数据点x归类到leader代表的类别中;

8.     end if

9. end for

输出: leader的集合L;leader的个数l;聚类结果.

Leaders算法只需扫描一遍数据集即可获得聚类结果,且在聚类过程中仅对选取的leader进行存储,大大节省了算法的运行时间和存储空间.时间复杂度和空间复杂度分别为O(n)和O(l),对处理大规模数据和在线数据十分有利.此外,Leaders算法也不需要指定聚类个数,通过调整参数T的大小,即可改变对数据集的分类细度.

作为一种简单、快速的聚类算法,除上述优势外,其自身也存在一些不足之处:首先,Leaders算法的聚类结果受数据点输入顺序的影响,针对不同的输入顺序,算法会选取不同的leader,从而产生不同的聚类结果;其次,在聚类结果中可能出现不同类别内两点相似性大于相同类别内两点相似性的情况,当输入顺序一致时,对于数据点x,满足条件||leader-x||≤T的leader可能不止一个,然而算法采用随机原则对满足条件的leader归类,导致聚类结果虽能保证同一类别内两个点之间的距离最大不超过2T,却不能保证不同类别内两个点之间的距离大于T.图 2给出了两类别可能出现的不好的聚类情况.

Fig. 2 Bad clustering situation of Leaders algorithm 图 2 Leaders算法中不好的聚类情况
2.2 Statistical Leaders算法

通过对Leaders算法的分析可知:图 2中出现的聚类情况使每一类别内包含数据点的个数出现误差,不能正确反映leader在原始数据集中的密度信息(这里与Rough-DBSCAN算法相同,将每一leader的k邻域中所有leader代表类别内包含数据点的总个数作为其密度信息);又因Leaders算法在聚类过程中采用固定的距离阈值进行分类,使得选取的leader在原始数据集中分布较为均匀,因此,Leaders算法作为抽样算法不能得到令人满意的抽样结果.

为使抽样获得的样本集更具代表性,并且能够较为准确地反映每一leader在原始数据集中的密度信息,在Leaders算法的基础上提出了一种结合统计思想的Statistical Leaders算法.该算法在进行聚类之前需要对数据集建立统计模型,并利用独立有限差分不等式得到特定的统计合并判定准则[19].

2.2.1 统计模型

Statistical Leaders算法将数据点的每一个特征均用Q个独立随机变量表示(Q的取值范围为正整数),且每一个随机变量对应一个分布.用Q={A,B,C,…}表示特征集合,假设每个特征的取值范围为[Li,Ui](i=A,B,C,…),为方便应用,对数据集作整体移动,使得特征的取值范围变为[0,gi](i=A,B,C,…),其中,gi=|Ui-Li|,那么Q个独立随机变量和的取值也应属于[0,gi](i=A,B,C,…),每个随机变量的取值范围即为[0,gi/Q](i=A,B,C,…).这样,一个数据点的特征信息就由多组随机变量表示,数据集的统计模型由此建立.

该统计模型对数据点及数据点特征的取样是相互独立的,对Q个独立随机变量的分布也没有特定要求,即,独立不一定同分布.随机变量个数Q的传统取值一般为1,但这一取值对相似性较高的数据集难以获得可靠的特征信息.当增大Q时,数据点的特征可被描述得更加细致,数据点之间的差异更加明显,使得数据集聚类时的类别个数会随之增加.因此,Q成为调整Statistical Leaders算法聚类结果的重要参数.

基于该统计模型,理想的聚类结果应使得同一类别中的数据点对于任意数据特征均具有相同的期望,不同类别中的数据点至少有一个数据特征的期望不同.

2.2.2 统计合并判定准则

在Statistical Leaders算法中,数据点的合并由一个特定的统计合并判定准则决定.为简化准则的推导过程,先只考虑含有一个特征信息的数据集,即,一个数据点用一组独立随机变量表示.在此基础上,将得到的结果扩展到具有更多特征信息的数据集中.

首先介绍如下定理:

定理1(独立有限差分不等式[19]). 设X=(X1,X2,…,Xn)是一组独立随机变量,Xk的取值范围为Ak(k=1,2,…,n). 设存在一个定义在 $ \prod\nolimits_k {{A_k}} $的实值函数f,当变量XX'仅在第k个条件不同时满足|f(X)-f(X')|≤rk,则∀τ≥0,有:

$P\left( {f\left( X \right) - \mu \ge \tau } \right) \le \exp \left( { - 2{\tau ^2}/{{\sum\nolimits_k {\left( {{r_k}} \right)} }^2}} \right),$

其中,μf(X)的期望,即,μ=Ef(X).

根据定理1,结合建立的统计模型,可以推出数据集中不同类别绝对偏差不等式成立的概率范围.记C为数据集中的类别(单个数据点可作为一个类别),|C|为类别内数据点的个数, $ \hat C$表示类别C与其他类别合并时的代表点,E(C)表示该类别相关数据点Q个独立随机变量期望和的期望.

推论1. 考虑数据集中的类别组合(C1,C2),∀0<δ≤1,下面不等式成立的概率不超过δ:

$|({\hat C_1} - {\hat C_2}) - E({\hat C_1} - {\hat C_2})| \ge g\sqrt {\frac{1}{{2Q}}\left( {\frac{1}{{|{C_1}|}} + \frac{1}{{|{C_2}|}}} \right)\ln \frac{2}{\delta }} , $

其中,g=max(gi)(i=A,B,C,…).

证明:已知类别C1中的数据点可由Q|C1|个独立随机变量表示,类别C2中的数据点可由Q|C2|个独立随机变量表示. $({\hat C_1} - {\hat C_2})$为实值函数,由于 ${\hat C_1},{\hat C_2}$分别是C1,C2的代表点,若变动C1中的变量,则rk的最大取值为g/(Q|C1|);若变动C2中的变量,则rk的最大取值为g/(Q|C2|).记${r_{{C_1}}} = g/(Q|{C_1}|),{r_{{C_2}}} = g/(Q|{C_2}|){\rm{,}}$则

$\sum\nolimits_k {{{({r_k})}^2}} = Q(|{C_1}|{({r_{{C_1}}})^2} + |{C_2}|{({r_{{C_2}}})^2}) = \frac{{{g^2}}}{Q}\left( {\frac{1}{{|{C_1}|}} + \frac{1}{{|{C_2}|}}} \right). $

根据定理1,取$\tau = g\sqrt {\frac{1}{{2Q}}\left( {\frac{1}{{|{C_1}|}} + \frac{1}{{|{C_2}|}}} \right)\ln \frac{2}{\delta }} > 0$,则

$P(|({\hat C_1} - {\hat C_2}) - E({\hat C_1} - {\hat C_2})| \ge \tau ) \le \exp ( - 2{\tau ^2}/\sum\nolimits_k {{{({r_k})}^2}} ) = \frac{\delta }{2} < \delta . $

推论得证.

由推论1可知:当δ取值接近于0时(本文若未特别标明,δ取为1/(6|X|2),类别组合(C1,C2)满足不等式$|({\hat C_1} - {\hat C_2}) - E({\hat C_1} - {\hat C_2})| \le b({C_1},{C_2})$的概率接近于1,其中,$b({C_1},{C_2}) = g\sqrt {\frac{1}{{2Q}}\left( {\frac{1}{{|{C_1}|}} + \frac{1}{{|{C_2}|}}} \right)\ln \frac{2}{\delta }} {\rm{;}}$当C1C2在理想的聚类结果中属于同一类别时,有$E({\hat C_1} - {\hat C_2}) = 0.$根据这两个条件可以得出:若类别组合(C1,C2)满足不等式$|({\hat C_1} - {\hat C_2})| \le b({C_1},{C_2}){\rm{,}}$则可以合并.因此,将Statistical Leaders算法的统计合并判定准则定义为

${\rm{M}}({C_1},{C_2}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{true}},{\rm{ if }}|({{\hat C}_1} - {{\hat C}_2})| \le b({C_1},{C_2})}\\ {{\rm{false}},{\rm{ otherwise}}} \end{array}} \right.. $

将该准则扩展到具有多个特征信息的数据集中,形式如下:

$M({C_1},{C_2}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{true,}}}&{{\rm{if }}\forall a \in \{ A,B,...\} ,|({{\hat C}_{a1}} - {{\hat C}_{a2}})| \le b({C_1},{C_2})}\\ {{\rm{false}},}&{{\rm{otherwise}}} \end{array}} \right..$

即,当类别组合(C1,C2)对每个特征均满足不等式$|({\hat C_{a1}} - {\hat C_{a2}})| \le b({C_1},{C_2})$时,合并C1C2;反之则不然.

2.2.3 Statistical Leaders算法的实现

获得统计合并判定准则后,Statistical Leaders算法在保证Leaders算法聚类框架不变的情况下,将距离阈值用统计合并判定准则代替,同时借鉴Rough-DBSCAN算法中的改进,将leader产生的顺序固定为聚类顺序,以此获得更具代表性和密度信息更为准确的样本集.具体而言,该算法首先从数据集中任取一个数据点作为起始leader,然后,依次将剩余数据点按聚类顺序与已有的leader进行统计合并判定:若满足判定准则,则将数据点合并到该leader代表的类别中,更新该类别包含的数据点followers及其个数count;若不满足,则将数据点作为新的leader,更新leader的个数.重复上述过程,直到对整个数据集完成初始分类,获得代表点集.过程细节见算法2.

算法2. Statistical Leaders.

输入:数据集X;独立随机变量个数Q.

1. 将leader的集合L初始化为空集,leader的个数l初始化为0;

2. for 数据集X中的每一个数据点x do

3.     寻找一个leader满足:leader∈L,代表类别Cld且∀a∈{A,B,…},|(leadera-xa)|≤b(Cld,x);

4.     if (没有满足条件的leader或L=∅) then

5.         L=L∪{x}; l=l+1;

6.         followers(x)={x}; count(x)=1;

7.     else

8.         若有多个满足条件的leader,按聚类顺序选择第一个满足条件的leader;

9.         followers(leader)=followers(leader)∪{x}; count(leader)=count(leader)+1;

10.     end if

11. end for

输出:leader的集合L;leader的个数l;每个leader的followers和count.

与Leaders算法选取固定的距离阈值不同,Statistical Leaders算法选取的统计合并判定准则的右边阈值b(C1,C2)与类别中包含数据点的个数相关,会随着类别内数据点个数的增加而减小,因此使得选取leader的数目在稠密区域增长较快,在稀疏区域增长较慢,更能反映原始数据集的稠密程度,提高了样本集的代表性.同时, Statistical Leaders算法按固定的聚类顺序选择满足条件的leader合并,有效地避免了图 2出现的聚类问题,使获得的代表点的密度信息更接近于其真实密度.进一步来说,由于统计合并判定准则的计算在速度上要快于距离计算,因此与Leaders算法相比,Statistical Leaders算法在运行时间上更具优势.

2.3 Statistical Leaders算法的实验分析

在本节中,对Statistical Leaders算法进行了仿真实验.实验目的为:1) 分析Statistical Leaders算法参数的性质;2) 证明Statistical Leaders算法抽样的有效性.实验对象选取二维空间上3个不同类型的人工数据集.表 2给出了数据集的基本信息,图 3显示了对应数据集的几何形状,它们均是通过不同参数的高斯分布随机生成.Data Set 1由3个circle组成,每个circle包含相同数目的数据点,属于凸状数据集;Data Set 2由一个ring和两个circle组成,其中两个circle的数据量之比固定为1:5,整体含有1 000个随机噪声点,是一种凸状与非凸状数据集的混合;Data Set 3由10个大小环组成,外环半径为3,两个外环圆心的水平距离为9,同时,外环与内环的数据量之比固定为3:1,整体含有1 000个随机噪声点,属于非凸状的数据集.实验的所有程序采用MATLAB编写,并在配置为Intel(R) Core(TM) i3~2130 CPU @ 3.40Hz,3.4GB内存的计算机上运行.

Table 2 Basic information of artificial data sets表 2 人工数据集的基本信息

Fig. 3 Artificial data sets 图 3 人工数据集
2.3.1 Statistical Leaders算法的参数分析

Statistical Leaders算法的参数为独立随机变量的个数Q.它不仅可以控制算法的抽样精度,还可以改变算法的统计复杂度.

图 4显示了数据集在固定数据量的情况下,随着参数Q的增大,抽样leader个数的变化情况.可以看出,对3个不同类型的数据集,参数Q的取值越大,抽取leader的数量越多.这是因为当每个特征用更多的独立随机变量表示时,特征差异会被描述的更加细致,导致数据集的类别个数增多.而从统计合并判定准则的角度来讲,Q增大,导致准则右边的阈值b(C1,C2)变小,因此,抽样个数会明显增多.将参数Q的取值从小调大,可以得到leader由少到多的代表点集.

Fig. 4 Influence of parameter Q on leader’s number 图 4 参数Q对抽样leader个数的影响

图 4还可以看出,相同的Q值对3个不同的数据集抽取的leader个数不同.这与数据集的大小有关,还是与数据集的空间分布有关呢?将3个数据集的数据量在固定高斯分布的基础上等量增多,利用固定的参数Q对同类不同量的数据集进行抽样,观察抽样个数的变化情况.从图 5(K=103)的实验结果可以看出,对于3个不同的数据集,在抽取leader个数小于4 000时,固定的Q值对数据量逐渐增加的同类数据集抽取的leader个数十分接近;而对比3幅图中数据量相近的不同数据集,相同的Q值对它们的抽样各不相同.这就说明,当Statistical Leaders算法用相同的Q值对不同的数据集进行抽样时,抽取leader的个数受数据集规模的影响较小,主要与数据集的空间分布密切相关,即,对分布较为紧凑的数据集(如Data Set 1和Data Set 2)抽取leader较多,对分布较为离散的数据集(如Data Set 3)抽取leader较少.

Fig. 5 Characteristic description of real data sets 图 5 针对同类不同量的数据集的抽样

了解了参数Q的基本性质,下面分析Q的取值对Statistical Leaders算法抽样性能的具体影响.

图 6以Data Set 1为例,给出了增大Q时,Statistical Leaders算法抽取leader增多的具体情况.可以看出,当Q的取值较小时,抽取leader的个数较少且分布均匀;随着Q的增大,抽取leader个数增多,代表点集对原始数据集稠密程度的反映变得更加准确.

Fig. 6 Concrete condition of leader with increased Q 图 6 随着Q的增大,leader增多的具体情况

图 7给出了参数Q增大时,Statistical Leaders算法所需时间的具体情况.可以看出,随着Q的增大,抽取leader的个数逐渐增多,Statistical Leaders算法所需的运行时间越来越长.

Fig. 7 Changes of running time with increased Q 图 7 随着Q的增大,算法运行时间的变化情况

综合图 6图 7的实验结果可知:当Q的取值较小时,Statistical Leaders算法所需的运行时间较少,但可能抽取的leader分布过于均匀,不足以反映原始数据集的稠密情况;当Q的取值较大时,Statistical Leaders算法抽取的leader能够较好地反映原始数据集的密度信息,但算法运行花费的时间过长.因此,在选取参数Q时,要同时兼顾算法的抽样效果及运行时间.Statistical Leaders算法一般默认Q的初始值为10 000,在具体应用中,根据数据集的空间分布和数据点的差异程度进行调整.

2.3.2 Statistical Leaders算法与Leaders算法的对比分析

为了证明Statistical Leaders算法抽样的有效性,本节将Statistical Leaders算法与Leaders算法做对比分析,对比的重点为算法抽取样本集的代表性和算法的运行时间.这里将算法抽取的非噪声点个数占代表点总个数的比值作为样本集代表性的评价指标,记作P.P值越大,说明算法抽取样本集的代表性越高,抽样算法就越好.实验对象是在保持Data Set 2高斯分布不变的情况上,将数据量降低到30 000获得的数据集,含1 000个随机噪声点.在实验过程中,对固定的数据集分别应用Leaders算法和Statistical Leaders算法进行多次抽样,并保证每次抽样时两者得到的leader个数尽可能地接近,记录抽取leader时两者对应的P值和时间,具体见表 3.

Table 3 Comparison of the sampling performance between Leaders and Statistical Leaders algorithm 表 3 Leaders算法与Statistical Leaders算法抽样性能的对比

表 3中可以看出,当两种算法抽取的leader个数接近时,Statistical Leaders算法的P值总是高于Leaders算法的P值,且所需的运行时间只有Leaders算法的1/2左右.说明两种算法在抽取相近大小的代表点集时, Statistical Leaders算法的代表点集对原始数据集的稠密信息反映更好,抽样的执行速度更快.这充分表明了Statistical Leaders算法抽样的有效性.

3 DSML算法

针对大规模数据的聚类问题,将Statistical Leaders算法作为抽样算法,并结合leader的密度信息和统计合并判定准则,提出了大数据的密度统计合并算法——DSML算法.该算法的显著优势为:(1) 可以聚类任意形状的大型数据集;(2) 对噪声具有良好的鲁棒性;(3) 算法的时间复杂度为O(n),执行效率较高.

3.1 DSML算法的聚类过程

DSML算法的聚类框架如图 8所示.

Fig. 8 Frame of the DSML algorithm 图 8 DSML算法框架

• 第1阶段:抽样

利用Statistical Leaders算法对原始数据集进行抽样,获得代表点集、每一leader代表类别内包含的数据点及其个数.抽样过程建立了一个从原始数据集到代表点集的映射,每个数据点在代表点集中都有唯一一个leader与之相对应,数据点最终的类别归属由对应leader直接决定.

• 第2阶段:对代表点集聚类

首先,通过计算leader之间的欧式距离构建相似性矩阵,选取与每一leader相似性最高的前k个点组成k邻域;然后,将leader的密度信息从大到小排序,以此作为聚类时的合并顺序.这里将每一leader的k邻域中所有leader代表类别内包含数据点的总个数作为其密度信息,数据点个数越多,密度越大.按照该合并顺序依次将leader与其k邻域内的点进行统计合并判定,若满足判定准则,则将该点与leader合并.遍历所有的leader,最终完成对代表点集的聚类.在这一阶段,基于密度的合并顺序保证了在任意两个不同的类别进行合并判定时,其自身已经完成了所有可能的合并.

• 第3阶段:根据映射关系完成对整个数据集的聚类

由于代表点集与原始数据集之间建立了映射,在完成对代表点集的分类后,依据leader的类别归属,将与其具有对应关系的数据点进行相同的归类,即实现了对整个数据集的聚类.

DSML算法在聚类过程中分别对原始数据集和代表点集建立统计模型,使用两次统计合并判定准则.第1次改进抽样算法获得代表点集,第2次结合leader的密度信息对其k邻域进行聚类,因此,DSML算法的聚类效果由3个参数决定:抽样时独立随机变量的个数Q1、针对代表点集聚类时独立随机变量的个数Q2、邻域内数据点的个数k.由于调整Q的大小可以改变算法的分类细度,即,当Q较小时,数据集分类较少;当Q较大时,数据集分类较多,所以作为抽样算法的参数Q1,其取值应远大于参数Q2.

3.2 DSML算法的实现

为更好地处理噪声点,DSML算法在对代表点集进行聚类时,只对合并顺序前α比例的leader进行统计合并判定(本文默认α=0.9),剩余的leader根据临近原则进行归类.下面具体说明DSML算法的实现细节.

算法3. DSML.

输入:数据集X;独立随机变量个数Q1Q2;邻域内数据点个数k.

1. 调用Statistical Leaders算法,获得代表点集L,leader个数l,followers(leader),count(leader);

2. 对每一leader赋予互不相同的类标号N,对应表示不同类别CN;

3. 计算代表点集L中任意两个leader之间的欧氏距离,确定每一leader的k邻域;

4. 计算每一leader的k邻域中包含leader的count(leader)总数,按降序排列,获得leader的合并顺序d;

5. for 代表点集L中90%的leader do

6.     按合并顺序d找到当前leader,确定类标号为Nl;

7.     for 当前leader的k邻域中每一点ydo

8.         if (NlNy且满足∀a∈{A,B,…},|(leadera-ya)|≤$b({C_{{N_l}}} - {C_{{N_y}}})$) then

9.             将CNlCNy合并,NlNy两个类别标号统一;

10.         end if

11.     end for

12. end for

13. for 代表点集L中剩余的10%的leader do

14.     按合并顺序d找到当前leader,确定类标号为Nl;

15.     确定当前leader的k邻域中的每一点y的类标号;

16.     if (存在类标号Ny满足:CNy至少包含两个点且leader的k邻域中被标记Ny的点数最多) then

17.         ${C_{{N_y}}} = {C_{{N_y}}} \cup \{ leader\} $,Nl=Ny;

18.     end if

19. end for

20. 根据leader最终的类标号将followers(leader)归入相应类别;

21. 计算不同类标号的个数nbcluster;

输出:聚类结果;聚类个数nbcluster.

3.3 时空复杂度分析

假设数据集中包含数据点个数为n,抽样选取leader个数为l,邻域内数据点个数为k.由DSML算法的聚类过程可知,其计算量主要集中于以下3个步骤:

1) Statistical Leaders算法对原始数据集的抽样;

2) 构建leader的距离度量矩阵,获得每一leader的k邻域;

3) 统计合并判定时,对leader及其k邻域内的点进行迭代.

对于步骤1),Statistical Leaders算法与Leaders算法相同,只对数据集扫描一遍,且仅对选取的leader进行存储,因此,对给定的含有n个点的数据集,选取l个leader的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(l);对于步骤2),针对含有l个leader的代表点集,计算距离度量矩阵的时间复杂度为O(l2),之后对获得的leader的k邻域进行存储,空间复杂度为O(lk);对于步骤3),将当前leader与其k邻域中的点进行统计合并判定时,k邻域内点的最大迭代次数为k,因此,步骤3)遍历完代表点集中所有leader的时间复杂度不超过O(lk).综合上面的分析可知,DSML算法的时间复杂度为O(n+l2+lk),空间复杂度为O(l)+O(lk).但因leader的个数l有独立于数据集个数和分布的上限[19],且处理大数据集时lk的取值通常远小于n,因此,DSML算法的时间复杂度可近似于抽样算法的时间复杂度O(n),具有较高的执行效率.

3.4 DSML算法的实验分析与评价

在本节中,为了更加直观地说明DSML算法对大规模数据聚类的有效性,选取具有相似聚类框架的Rough- DBSCAN算法进行对比分析.实验环境与第2.3节相同,实验对象选取第2.3节中的3个人工数据集及部分真实数据集.第3.4.1节是对人工数据集的聚类结果对比;第3.4.2节是对真实数据集的聚类结果对比;第3.4.3节是对DSML算法中参数的讨论分析;第3.4.4节是对两种算法执行效率的对比.

实验过程中,由于聚类结果的好坏取决于算法对数据集中非噪声点的分类情况,因此,将算法聚类的评价指标定义为非噪声点的分类准确率,记为F.另外,由于Rough-DBSCAN算法与DSML算法具有互不相同的参数,对实验中参数的选取做以下说明:

• Rough-DBSCAN算法:共有3个参数,分别是抽样时距离阈值T、针对代表点集聚类时的邻域半径r及邻域内点的个数阈值m.对大规模数据,参数m一般取为100左右,参数Tr则根据数据集的直径做决定.

• DSML算法:共有3个参数,分别是抽样时独立随机变量的个数Q1、针对代表点集聚类时独立随机变量的个数Q2、邻域内数据点的个数k.在实验中,参数k一般取为10左右的数.对于该算法特有的参数Q1Q2,它们控制了算法的抽样精度和聚类细度.对大规模数据,参数Q1的默认值为10 000,具体根据数据集的空间分布和数据点的差异程度进行调整.参数Q2要远小于Q1,取值范围为100~5 000,具体根据数据集的分类需求进行调整.

3.4.1 人工数据集的聚类效果对比

对任意形状的数据集都有良好聚类效果的算法才能称为较好的聚类算法.在本节中,将Rough-DBSCAN算法与DSML算法同时应用于3个不同类型的人工数据集,在基于较好的抽样效果的前提下,对两种算法的聚类结果进行对比分析.

表 4的实验结果可以看出,DSML算法在处理凸状的Data Set 1和混合状含噪声点的Data Set 2时,聚类效果要优Rough-DBSCAN算法;同时,在处理非凸状的Data Set 3时,聚类效果与Rough-DBSCAN算法持平.这充分表明了DSML算法不仅可以处理任意形状的数据集,而且对混合状、含噪声的数据集也具有良好的聚类效果.

Table 4 Comparison of clustering results between Rough-DBSCAN and DSML algorithm表 4 Rough-DBSCAN算法与DSML算法的聚类效果对比
3.4.2 真实数据集的聚类效果对比

基于对人工数据集良好的聚类效果,本节将继续应用DSML算法对部分真实数据集进行聚类实验,并将聚类结果与Rough-DBSCAN算法做比较.实验对象选自USPS数据库(the United States Postal Service,由16×16维灰度图像构成,每个样本表示为256维向量,共包含7 291个训练样本、2 007个测试样本)中的训练样本集和UCI数据库(http://archive.ics.uci.edu/ml/,加州大学欧文分校提出的用于机器学习的数据库,目前包含223个数据集)中的letter手写字母识别数据集.具体选取真实数据集的基本特征见表 5.

Table 5 Characteristic description of real data set表 5 真实数据集的特征描述

通过表 6可以看出,DSML算法对7种真实数据集的聚类效果都要优于Rough-DBSCAN算法,说明基于密度的DSML算法对真实数据集也具有良好的聚类效果.这进一步证明了DSML算法在聚类上的有效性.

Table 6 Comparison of clustering results between Rough-DBSCAN and DSML algorithm表 6 Rough-DBSCAN算法与DSML算法的聚类效果对比
3.4.3 DSML算法中参数的讨论分析

DSML算法的聚类效果由3个参数决定:抽样时独立随机变量的个数Q1、针对代表点集聚类时独立随机变量的个数Q2、邻域内数据点的个数k.

Q1作为抽样算法的参数,已在第2.3.1节进行了详细的讨论.在本节实验中,首先利用Statistical Leaders算法(Q1=80000)对数据集进行抽样,然后,在抽样得到的代表点集上对参数Q2k的性质进行实验分析.

参数Q2的取值控制了算法对数据集的最终聚类个数.图 9以Data Set 2为例,给出了在固定k=10的情况下,随着Q2的变化,DSML算法对代表点集的聚类情况.可以看出,随着参数Q2逐渐增大,聚类个数逐渐增多.当Q2取300左右时,可获得满意的聚类效果.

Fig. 9 Influence of Q2 on clustering result when k=10 图 9k=10时,Q2的取值对聚类结果的影响

图 10给出了在固定k=10的情况下,随着Q2的变化,DSML算法对代表点集聚类时所需时间的变化情况.可以看出,随着Q2的增大,DSML算法聚类所需的时间并没有很大的变化.因此,参数Q2的取值对算法运行时间没有特别的影响.

Fig. 10 Relationship between Q2 and time when k=10 图 10 k=10时,Q2的取值与时间的关系

参数k的取值决定了算法的合并顺序.由于改变k的取值时,合并顺序会发生变化,所以不能完全确定参数k与聚类结果的稳定关系.但一般来说,随着k的增大,k邻域内可以合并点数增多,会使聚类时得到的类别个数变少.图 11给出了固定Q2=200时,随着k的变化,DSML算法对代表点集聚类时所需时间的变化情况.可以看出,随着k的增大,聚类所需的时间呈上升趋势.但由于整体时间很少,因此对整个DSML算法的运行时间并没有直接的影响.

Fig. 11 Relationship between k and time when Q2=200 图 11 Q2=200时,k的取值与时间的关系

综合上述对DSML算法参数的分析可知,DSML算法的最终聚类结果由3个参数的共同作用决定,而DSML算法的运行时间主要由参数Q1的取值决定.

3.4.4 执行效率的对比

在本节中,将DSML算法与Rough-DBSCAN算法的执行效率进行对比.实验对象选取两种算法对其具有相同聚类结果的Data Set 3.实验过程中,为充分显示两种算法的最优执行效率,在保证算法得到最好聚类效果的同时,尽量减少leader的抽取个数.

图 12给出了数据规模增大时,两种算法执行效率的变化情况.其中,Rough-DBSCAN算法的参数T取为0.8时,与DSML算法参数Q1取为80 000时抽取leader的个数相近.比较算法此时的执行效率发现,DSML算法在得到与Rough- DBSCAN算法相同聚类效果的情况下,所需运行时间只有Rough-DBSCAN算法的1/2左右.这充分证明了DSML算法在执行效率上的优势.进一步地,将DSML算法的参数Q1增加到100 000,再与Rough-DBSCAN算法进行对比发现,DSML算法在抽取leader个数增多、抽样时间增长的情况下,整体运行时间依然比Rough-DBSCAN算法要快很多.这再次说明DSML算法是一种快速、高效的聚类算法.

Fig. 12 Comparison of execution efficiency 图 12 执行效率的对比
4 总 结

随着信息技术的迅猛发展,大规模数据集层出不穷,这对聚类算法的执行效率有了更高要求.本文从提高算法的可扩展性和高效性的角度出发,结合抽样思想和统计思想,提出了一种针对大数据的密度统计合并算 法——DSML算法.该算法的突出特点是:将数据点的每一个特征看作一组独立随机变量,并根据独立有限差分不等式得到了特定的统计合并判定准则.在聚类过程中,DSML算法首先利用统计合并判定准则对Leaders算法做出改进,并将改进后的算法作为抽样算法获得代表点集;然后,结合代表点的密度信息和邻域信息,再次利用统计合并准则完成对整个数据集的聚类.DSML算法不仅保持了基于密度的聚类算法的优势,即,可以聚类任意形状的数据集及对噪声具有一定的鲁棒性,而且还有近似线性的时间复杂度,非常适合处理大规模数据集.与Rough-DBSCAN算法对比的实验结果充分说明了DSML算法的适用性和有效性.

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